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Fonctions composées et variations [Vérifications]

Posté par
infophile 01-11-06 à 21:54

Bonjour mathîliens

Un ami m'a demandé de l'aide et n'ayant jamais étudié les fonctions composées, j'aurais aimé que vous me corrigiez ce que j'ai fait.

Soit u et g deux fonctions et leur tableau de variations :


\large\rm\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline{x}&-\infty&&2&&4&&5&&+\infty\\\hline{}&1&&&&&&&&+\infty \\ \\&&\searrow&&&&&&\nearrow\\{u}&&&0&&&&0\\&&&&\searrow&&\nearrow\\&&&&&-5\\\hline\end{tabular}     \large \rm \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline{x}&0&&1&&3&&+\infty\\\hline{}&+\infty\\&&\searrow\\{g}&&&2\\&&&&\searrow\\&&&&&0\\&&&&&&\searrow\\&&&&&&&-3\\\hline\end{tabular}

Soit f la composée f=g(u).

1) Domaine de définition de f :

La fonction g est définie pour tout x sur \large \mathbb{R^{+}}.
La fonction u est définie pour tout x sur \large \mathbb{R}
La fonction f est définie si pour tout x, u(x)\in D_{g}, or sur ]2;5[ les images de x par u sont strictement négatives donc \fbox{\forall x\in ]2;5[,u(x)\notin D_{g}}.
On en conclue que \fbox{D_{f}=]-\infty;2[\cup ]5;+\infty[}

2) Dresser le tableau des variations de f en justifiant les limites.

Sur ]-\infty;2[ les fonctions u et g sont strictement décroissantes donc la fonction composée f est strictement croissante sur cet intervalle.
Sur ]5;+\infty[ la fonction u est strictement croissante et la fonction g est strictement décroissante donc la fonction composée f est strictement décroissante sur cet intervalle.

Comment faut-il justifier les limites ?

Merci

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 22:42

4$ \fbox{\{\lim_{x\to -\infty}u(x)=1\\\lim_{x\to 1}g(x)=2} donc 4$ \fbox{\lim_{x\to -\infty}f(x)=2}

4$ \fbox{\{\lim_{x\to 2^{-}}u(x)=0\\\lim_{x\to 0}g(x)=+\infty} donc 4$ \fbox{\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=+\infty}

4$ \fbox{\{\lim_{x\to 5^{+}}u(x)=0\\\lim_{x\to 0}g(x)=+\infty} donc 4$ \fbox{\lim_{x\to 5^{+}}f(x)=+\infty}

4$ \fbox{\{\lim_{x\to +\infty}u(x)=+\infty\\\lim_{x\to +\infty}g(x)=-3} donc 4$\fbox{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-3}

Est-ce correct ?

Posté par
Skopsre : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 22:45

Personnelement, je trouve ca tout bon

Skops

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 22:59

Ok

Dressons le tableau des variations de f :

5$\rm\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline{x}&-\infty&&2&&5&&+\infty\\\hline{}&&&+\infty&||&+\infty\\&&\nearrow&&||&&\searrow\\&2&&&||&&&-3\\\hline\end{tabular}

On en conclue en visualisant le tableau des variations de f qu'il existe une seule valeur de x tel que \fbox{f(x)=0}

Bon en espérant que ce soit juste

Posté par
Skopsre : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:03

Je pense que c'est juste

Skops

Posté par
Skopsre : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:05

pour le latex

Skops

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:06

Un peu long à taper

Posté par
garnouillere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:21

un petit truc : "conclure" est un verbe du 3ème groupe, c'est donc on conclutje ne veux pas ^pinailler mais c'est une faute que l'on voit trop souvent et qui fait très mauvais effet, à éviter donc... un de mes collègues a fait cette faute le jour du capes, l'inspecteur ne l'a pas râté... je ne voudrais pas qu'il vous arrive ce genre de mauvaise blague!

Posté par
borneore : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:27

C'est vrai. Grosso modo, à l'indicatif, les verbes "difficiles" se terminent pas "s" quand c'est je ou tu, et par "t" quand c'est il ou on. (verbes difficiles = 3e groupe, ceux qu'on n'apprend plus)

Si vous voulez un petit topo sur l'impératif, you're welcome.

Voilà, Kévin, pour le capes, ça m'a l'air bien parti

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:42

Merci garnouille et borneo

Je vais de suite le rayer de mon devoir d'SVT

Posté par
garnouillere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 01-11-06 à 23:57

puisqu'on y est :
je résous, tu résous, il (elle, on)résout
sûr et certain! un truc pour gagner des paris à coup sûr!...

Posté par
borneore : Fonctions composées et variations [Vérifications] 02-11-06 à 12:55

Et à l'impératif, ça donne résous !

Pour les verbes du premier groupe, pas de "s" à l'impératif. Comme par exemple : cherche !

C'est le genre de chose que les parents d'élèves corrigent parfois (de manière erronée) dans la marge des cahiers. Du coup, je leur indique la régle

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 02-11-06 à 13:44

Ca en fait des règles à retenir

Merci

Posté par
_Estelle_re : Fonctions composées et variations [Vérifications] 02-11-06 à 13:45

Beau LaTeX, Kévin

Estelle

Posté par
infophilere : Fonctions composées et variations [Vérifications] 02-11-06 à 14:08

Merci


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