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GregStudre : Fonctions continues 17-01-10 à 11:25

j'ai des difficultés avec l'exercice suivant:
f(x)=\frac{1}{x^2+1}
je dois arriver à
\frac{3}{4}\delta\le\epsilon
mais je ne vois absolument pas comment procéder
je vous met la résolution que je ne comprend pas tout à fait de mon syllabus
f(x)-f(1)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{2}=\frac{1-x^2}{2(1+x^2)}=-\frac{(x-1)(x+1)}{2(1+x^2)} \\ |f(x)-f(1)|=|x-1|\frac{|x+1|}{2(1+x^2)}
Puisque (|x|-1)^2\ge0, on a toujours 2|x|\le1+x^2, et donc
(je ne comprend pas comment trouver \frac{3}{4})->>>\frac{|x+1|}{2(1+x^2)}\le\frac{|x|+1}{2(x^2)}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
donc,
|f(x)-f(1)\le\frac{3}{4}|x-1| \\ \delta\le\frac{4}{3}\epsilon
merci d'avance de votre aide

*** message déplacé ***

Posté par
GregStudre : Fonctions continues 17-01-10 à 11:47

correction c'est bien
\frac{|x|+1}{2(1+x^2)}

*** message déplacé ***

Niveau école ingénieur
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Fonctions continues

Posté par
GregStud 17-01-10 à 13:29

Bonjour tout le monde,
j'ai des difficultés avec l'exercice suivant:
Démontrer que la fonction suivante est continue en 1,
f(x)=\frac{1}{x^2+1}
je dois arriver à
\frac{3}{4}\delta\le\epsilon
mais je ne vois absolument pas comment procéder
je vous met la résolution que je ne comprend pas tout à fait de mon syllabus
f(x)-f(1)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{2}=\frac{1-x^2}{2(1+x^2)}=-\frac{(x-1)(x+1)}{2(1+x^2)} \\ |f(x)-f(1)|=|x-1|\frac{|x+1|}{2(1+x^2)}
Puisque (|x|-1)^2\ge0, on a toujours 2|x|\le1+x^2, et donc
(je ne comprend pas comment trouver \frac{3}{4})->>>\frac{|x+1|}{2(1+x^2)}\le\frac{|x|+1}{2(x^2+1)}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
donc,
|f(x)-f(1)\le\frac{3}{4}|x-1| \\ \delta\le\frac{4}{3}\epsilon
merci d'avance de votre aide

Posté par
carpediemre : Fonctions continues 17-01-10 à 14:51

salut

|x+1|<|x|+1<1/2+1 pour x suffisamment proche de 1 donc |x+1|<3/2 (1)

d'autre part 2(1+x2)>2 car x2>0

donc en prenant l'inverse et en multpliant par 1 on obtient bien < 3/4
....

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions continues 17-01-10 à 17:31

Bonjour,
On a donc |f(x)-f(1)|=|x-1|\,\frac{|x+1|}{2(1+x^2)}

Or |x+1|\leq |x|+1 avec l' inégalité triangulaire.

Donc |f(x)-f(1)|\leq |x-1|\,\left(\frac{|x|}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2(1+x^2)}\right)

Or d' une part: 2|x|\leq 1+x^2 donc \frac{|x|}{2(1+x^2)}\leq \frac{1}{4}

et d'autre part: \frac{1}{2(1+x^2)}\leq \frac{1}{2}

Si bien que: |f(x)-f(1)|\leq \frac{3}{4}|x-1|

Soit |f(x)-f(1)|\leq \frac{3}{4}\delta

et il suffit de prendre \delta \leq \frac{4}{3}\varepsilon



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Posté par
GregStudre : Fonctions continues 17-01-10 à 17:41

je comprend la simplification du premier terme, mais la seconde pas dutout, pourquoi 1/2?

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Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions continues 17-01-10 à 17:53

Il ne s' agit pas de "simplifications" mais de majorations:

1+x^2\geq 1

\frac{1}{1+x^2}\leq 1

\frac{1}{2(1+x^2)}\leq \frac{1}{2}



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Posté par
GregStudre : Fonctions continues 17-01-10 à 18:12

ok... je pense ne jamais avoir touché à ca...  donc je dois comprendre que je pars de
x\ge0
x^2\ge0
1+x^2\ge1
...
je dois être dans le bon non?
et comment savoir dans quel cas je dois majorer ou pas? auriez vous des exercices pour que je m'entraine? merci de votre patience et de votre aide

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Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions continues 17-01-10 à 18:36

Dans ce genre d' exercice (sur la continuité), il faut systématiquement majorer:

On doit tenter d' arriver à ceci:

|f(x)-f(a)|\leq k|x-a| où k est un réel positif dépendant de a

Il suffit ensuite de choisir (quand c' est possible) \delta <\frac{\varepsilon}{k} pour pouvoir écrire que:

\forall \varepsilon >0\;\;\;\exists \delta >0\;\;\;\text{tel que}\;\;\;|x-a|<\delta\Longrightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon

Donc que f est continue en a.



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Posté par
GregStudre : Fonctions continues 18-01-10 à 15:06

ok je pense avoir compris merci beaucoup encore un fois à tous les deux!

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