Bonjour Effort,

la seule information que tu possèdes est : . Pour que tu intuites mieux pourquoi on pose ça, prends et dans \mathbb{R}, et demande toi qui est pour eux (c'est géométrique).

donc en particulier . Donc grâce à ton hypothèse, . Essaie de rédiger proprement pourquoi ceci veut dire que pour tout réel, on aura ainsi .

Pour en déduire que les telles f sont les fonctions affines, je suis sûr que tu peux trouver. Pense à dessiner un peu ce qui se passe, c'est un bon principe général.

Cordialement,

Drasseb

Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse Drasseb. Donc je vois tout a fait ce que représente (x+y)/2, c'est en fait le "milieu" ( si on peut parler de milieu dans les réels ), ou la moyenne de x et y. Je comprends donc pourquoi on a cette relation. Mais je ne vois vraiment toujours pas comment le prouver analytiquement a partir de deux valeurs particulieres de f(x)...

salut

si f est nul en x et y alors elle est nul en (x+y)/2 puis par récurrence en x_k=k(x+y)/2ⁿ pour 0kn et tout n

suppose qu'il existe r tel que x<r<y et f(r)=t0
montre alors que tu peux construire une sous-suite de (x_k) qui converge vers r

et par continuité de f tu aboutis à une contradiction avec t0

prend =t/2...

donc f est nulle sur [X,Y]

ensuite pour x pas "trop loin de" [X,Y] alors il existe a et b dans [X,Y] tel que b (ou a suivant que x est à gauche ou à droite de l'intervalle) tel que a (ou b) =(x+b)/2

et en appliquant la relation que vérifie f où deux termes sont nuls alors le 3e est nul et tu sort de [X,Y] et donc f est nulle aussi à l'extérieur de [X,Y] et tu continue sur R donc f est nulle...

à rédiger proprement

Désolé je m'étais absenté quelque peu.

Le point milieu est bien la réponse que j'attendais ! [ça a bien un sens pas de soucis, ne parle-t-on pas de la droite réelle ?]

En survolant très rapidement les deux posts de carpediem je dirais a priori comme lui s'il faut vraiment être plus précis [et à condition que tu aies officiellement droit au théorème de Bolzano-Weierstrass, cas réel].

Enfin pour la deuxième question, si f est nulle on peut la voir comme une application affine assez dégénérée (a=b=0), sinon d'après la question précédente il n'existe qu'un seul X tel que f(X)=0, donc après en farfouillant comme il faut tu vas réussir à trouver a et b...[au fait, géométriquement, qui sont a et b ? Comment on les détermine ?]

Bonne soirée,

Drasseb

Une méthode :
Soit S = { f: | f est  continue et pour tout (x,y) ²  f(x) + f(y) = 2f((x + y)/2)}.


1. Soit  f S \ {0}. Posons , pour tout réel x : F(x) = ₀^x f .
        Soit x .Les applications  t f(x) + f(t) et t 2f((x + t)/2) sont continues et égales donc en intégrant de 0 à 1 on obtient : f(x) + F(1) = F((x + 1)/2) - F(x/2) .  
    Il en résulte que f est dérivable .

Soit y . x f(x) + f(y) - 2f((x + y)/2)   est dérivable et nulle donc pour tout x on a : 0 = f '(x) - f '((x + y)/2)  .

Autrement dit on a : " (x,y) ²  ,  f '(x) = f '((x + y)/2) "
On a donc aussi : " (y,x) ²  ,  f '(y) = f '((y + x)/2) "

Finalement on a : " (x,y) ²  ,  f '(x) = f '((x + y)/2) = f '(y) "

f ' est donc constante et f est affine càd de la forme x ax + b  où a et b sont des réels . D'ailleurs b = f(0) et a = f(1) - f(0) .

2. Inversement il est facile de voir que toute application affine est dans S de  sorte que S = { x ax + b | (a,b) ² }
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Il semblerait que celui qui a posé cet exercice attendait la méthode suivante :

Soit f S . Soient g : (f(1) - f(0))x + f(0)) et h = f - g . On a h S et h(0) = h(1) = 0 .
.On montre alors que
                     1. h(n) = 0 pour tout n (récurrence).
                     2. Pour tout n on a :  " k   ,   h(k.2^-n = 0 (récurrence encore).
On utilise ensuite les th
              1. {k.2^-n | (k,n) } est dense dans .
              2.Toute application de dans qui est nulle sur une partie dense de est (identiquement) nulle .