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Fonctions de classe C2

Posté par
cricri971 20-04-09 à 13:04

Bonjour!

J'ai un gros problème avec un exercice, car je ne comprend pas comment montrer qu'une fonction est de classe C2. De plus je n'ai pas bien saisis ce qu'était les points critiques. Je suis donc bloqué pou cet exercice.
Voilà mon énoncé:

Soit f définie sur R^2 par
f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y

1) Montrer que f est de clsse C2
2)Montrer que f admet des quatres points critiques et les déterminer
3)Ecrire la formule de Taylor de f à l'ordre deux en chacun de ses points critique
4)Etudier les extréma de f dans R^2

Si quelqun pouvait m'aider se serait très sympa
Merci d'avance

Posté par
jeansebre : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 13:16

Bonjour

1)f étant polynomiale, elle est Coo , donc C2. Sauf erreur.

Posté par
cricri971re : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 13:21

Merci Jeanseb j'avai vu ca en TD pour une autre fonction mais j'étai pas sur que c'était ca!

Pour les points critiques tu n'as pas une idée par hasard stp

Posté par
MatheuxMatoure : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 13:57

bonjour

regarde là où les deux dérivées partielles s'annulent simultanément

mm

Posté par
ottore : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 14:06

Bonjour,
c'est du cours jusqu'à la dernière question, il s'agit donc de le connaitre un peu ...

Posté par
MatheuxMatoure : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 14:09

oui, je suis d'accord avec toi Otto...

mm

Posté par
cricri971re : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 14:36

Merci beaucoup....

J'ai les définitions du cors mais au niveau de l'application j'ai un soucis!

Après avoi calculer les dérivées partielles pour voir la ou elles s'annulent simultanément jme retouve avec ses deux équations:
  3x^2+3y^2-15=0
et 6xy-12=0  

Je n'arrive pas à résoudre ce système désolé mais j'ai un peu de mal

Posté par
ottore : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 16:39

Bonjour,
tu peux simplifier par 3 la premiere équation et par 6 la seconde, tu trouves notamment
x=2/y et ensuite tu remplaces...

niveau seconde.

Posté par
MatheuxMatoure : Fonctions de classe C2 20-04-09 à 16:47

disons première Otto, car je crois qu'on obtient du second degré !

ou une autre façon de voir : x²+y²=5 et x²y²=4... tu cherches deux nombres connaissant leur somme et leur produit... en gardant présent à l'esprit que xy>0

Posté par
cricri971re : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 12:03

Merci pour vos réponses.

J"ai trouvé comme points critiques -2,-1,1,2.
Par contre comment on étudie les extremas svp??

J'ai un controle à la rentrée merci de m'éclaircir.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 12:35

Bonjour, ce ne sont que les valeurs de x ce que tu donnes! Un point critique a deux coordonnées, qu'obtiens-tu au final?

Ensuite, écris la formule de Taylor à l'ordre 2 au premier point critique (1;2), qu'as-tu?

Posté par
cricri971re : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 13:47

Merci pour ta réponse...

Les 4 points critiques sont en fait : (1,2) (2,1) (-1,-2) (-2,-1)

Et pour la formule pour (1,2) :

f(x,y)=f(1,2)+f/x(1,2)(x-1)+f/y(1,2)(y-2)+1/22f/x2(1,2)(x-1)2+1/22f/y2(1,2)(y-2)2+2f/(xy)(1,2)(x-1)(y-2)

J'ai fais ça pour les trois autres mais impossible de savoir comment trouver les extréma.

J'en ai marre

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 17:05

Je t'en prie.

Ne t'inquiète pas, je vais te montrer sur une exemple, et je suis sûr que tu vas comprendre le raisonnement.

Déjà, il est plus simple de partir de 4$\displaystyle\blue f(1+h,2+k) pour les calculs. On a, en utilisant l'algorithme de Gauss (réduction des formes quadratiques):

4$\displaystyle\blue f(1+h,2+k)\;=\;f(1,2)\;+\;\fr 12[6h^2+6k^2+24hk]\;+\;o(||(h,k)||^2)\;=\;-26\;+\;3[(h+2k)^2^\;-\;3k^2]\;+\;o(||(h,k)||^2)

Donc s'il y a extremum local, celui-ci vaut 4$\displaystyle\blue -26 .

C'est le cas si et seulement si localement, la fonction reste toujours supérieure à 4$\displaystyle\blue -26, ou toujours inférieure.

Or le fait que cette forme quadratique ne soit ni définie positive, ni définie négative va rendre impossible ce cas de figure.

Pour s'en assurer dans ce cas précis, on va exhiber deux moyens différents pour 4$\displaystyle\blue (h,k) de tendre vers 4$\displaystyle\blue (0,0), sur chacun desquels la différence entre la fonction et


4$\displaystyle\blue -26 reste de signe constant, et tels que ces deux signes soient opposés.





*Premier moyen: On prend 4$\displaystyle\blue h=k et on fait tendre 4$\displaystyle\blue (h,k) vers 4$\displaystyle\blue (0,0). Ecrivons 4$\displaystyle\blue o(||h,k||^2)\;=\;(h^2+k^2)\epsilon(h,k), avec 4$\displaystyle\blue \lim_{(h,k)\to(0,0)}\epsilon(h,k)\;=\;0

Pour 4$\displaystyle\blue (h,k) suffisamment proche de 4$\displaystyle\blue (0,0), on aura 4$\displaystyle\blue \epsilon(h,k)>-1 , d'où 4$\displaystyle\red\fbox{ f(1+k,2+k)\;-\;f(1,2)\;=\;3[(k+2k)^2\;-\;3k^2]\;+\;2k^2\epsilon(h,k)\;>\;16k^2\;\ge\;0}


*Deuxième moyen: On prend 4$\displaystyle\blue h=-k et en raisonnant de la même façon (on se place sur un voisinage dans lequel 4$\displaystyle\blue\epsilon(h,k)\;<\;1 ), on montre que 4$\displaystyle\red\fbox{ f(1-k,2+k)\;-\;f(1,2)\;<\;-4k^2\;\le\;0}

Conclusion: il n'y a pas d'extremum local en (1,2). Ca va mieux? Je te laisse faire les 3 autres raisonnements.

Posté par
MatheuxMatoure : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 17:46

Bonjour à vous,

Greg : on ne peut pas mettre 6k² en facteur dans le terme de second ordre et on obtient une quantité en m=h/k qui est m²+4m+1... qui ne garde pas un signe constant

cela donne d'ailleurs l'idée de ce qu'il faut prendre comme contrexemple sur h/k pour avoir tantôt un maximum, tantôt un minimum suivant la direction d'approche du point critique

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 17:53

Salut,

ce n'est pas ce que j'ai dit: si tu me lis bien, j'ai d'abord considéré le chemin h=k, puis h=-k.

Posté par
MatheuxMatoure : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 18:13

oui Greg, j'ai bien compris ce que tu fais et c'est tout à fait correct !

en fait mon "on ne peut pas..." aurait dû se terminer par un "?" car c'était une forme interrogative ! C'est un peu loin pour moi et je te demandais confirmation de ce qui me remontait en mémoire !

je pensais simplement à notre ami Cricri qui pouvait se demander d'où on sort ces deux cas particuliers servant de contrexemple (pour moi m=1 et m=-1)

alain

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 24-04-09 à 22:04

D'accord, j'avais mal compris ton message.

Je ne connaissais pas la méthode que tu proposes, cela dit tant qu'à faire, pourquoi ne pas utiliser directement le théorème donnant des conditions suffisantes sur les dérivées partielles secondes pour garantir qu'il y a extremum au point critique considéré? Ou alors, si on ne le connaît pas, la réduction de Gauss donne immédiatement la bonne idée, c'est d'ailleurs ainsi que j'ai procédé?

Posté par
cricri971re : Fonctions de classe C2 25-04-09 à 10:25

Meri beacoup Tigweg!!

C'est beucoup plus clair je  vais essayer avec les les trois autres valeurs mais je penseque ca va aller.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 25-04-09 à 15:40

Mais avec plaisir, Cricri!

N'hésite pas à poster à nouveau si tu es bloqué(e)! :deal!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de classe C2 25-04-09 à 15:40

Je voulais dire:








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