Bonsoir,

Reviens aux définitions : un C^k difféomorphisme est une bijection qui est C^k et dont la réciproque est C^k. Le Jacobien est l'extension de la dérivée première aux cas multi-fonctions/multi-variables, il peut t'aider à démontrer que la fonction et sa réciproque sont C¹, mais il ne te sera d'aucun secours pour les dérivées supérieures.

Quant à ta fonction r(x,y), elle n'est évidemment même pas injective, car par exemple tous les points du cercle C(O,a) ont par définition le même rayon. Elle n'admet donc pas de fonction réciproque.

Bonjour

Pour une fois pas d'accord avec toi, LeHibou!

Une fonction qui est un -difféomorphisme (ce qui se voit en montrant qu'elle est bijective et que la jacobienne est inversible en chaque point) est automatiquement un difféomorphisme!

Merci Camélia, j'ai appris quelque chose grâce à toi, il faut vraiment que je (re)voie ce chapitre de très près...

Est-ce qu'on peut rapprocher cela du théorème sur la dérivation des fonctions complexes qui dit qu'une fonction qui est C¹ au sens complexe est C au sens complexe ?
Merci d'avance pour tout retour sur le sujet,
LeHibou

Je ne mettrais pas dans le même panier les complexes et et les réelles...

Pour les complexes le miracle est que la C-dérivabilité entraine la -dérivabilité, et même plus fort, l'analycité... ce qui est énorme et n'a jamais cessé de m'émerveiller...

Pour les réelles d'une ou plusieurs variables, différentiables au sens réel, c'est quand même beaucoup plus modeste. Tout ce que je dis c'est que pour une bijective de classe l'obstruction ne vient que de la première dérivée. Si celle-ci est inversible, la réciproque est de même classe que la fonction de départ. Ca se voit assez facilement, puisqu'on a une formule pour la première différentielle de la réciproque, qui fait intervenir des inversions de matrices dont les coefficients sont de classe d'une matrice.

Merci Camélia, je comprends beaucoup mieux maintenant, j'avais mal lu ton premier post et j'en avais tiré une conclusion erronée.

Et je partage ton émerveillement sur la C-dérivabilité des fonctions complexes !

Merci pour le temps que tu as passé à répondre à ma question,
LeHibou