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Fonctions de plusieurs variables : extremum
Bonjour,
J'aurais besoin d'un peu d'aide concernant l'exercice suivant s'il vous plaît.
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Soit l'ensemble des produits
tels que
et
.
1. Montrer que possède un minimum.
2. Montrer que est un ouvert de
.
3. Déterminer les points critiques de
sur
.
4. Montrer que possède un maximum et le déterminer.
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1. Je dirais que possède pour minimum
. En effet,
et pour que l'ensemble soit minimum il suffit de prendre deux termes nuls et un terme égal à 1 (ou aussi un terme nul et deux termes dont la somme fait un). Par contre, je ne vois pas comme "montrer" que cet ensemble possède un minimum.
2. Soit . Montrons que :
. Soit
. Et là je bloque... je ne vois pas quel
pourrait convenir...
3. Pour l'étude des points critiques, on regarde quand est-ce que le gradient de s'annule. Après calculs, je trouve deux points critiques :
et
.
4. Petit blocage comme pour le minimum...
Merci d'avance ! 
Bonjour ;
1) La fonction f est continue sur [0,1] qui est un segment donc elle atteint ses bornes (Heine)
4) Le minimum tu as montré que c'est (0,0), il te reste comme point critique (1/3,1/3) et tu sais que f a un maximum (cf 1.) donc c'est le maximum.
Salut
"La fonction f est continue sur [0,1] qui est un segment donc elle atteint ses bornes (Heine)" >> C'est pas Heine ça. Heine c'est l'uniforme continuité.
Merci à tous les deux. Heine est-il au programme de Sup ? Ce nom ne me dit rien ; enfin, peut-être que mon professeur a parlé du résultat sans citer son nom (je suis en PCSI).
Par contre, je n'ai pas vraiment "montré" que (0,0) est le minimum. Il apparaît comme évident mais comment le "prouver" ?
Salut Ayoub !
Dans mon cours le théorème de Heine c'est l'uniforme continuité + cette propriété généralisée aux compacts.
Tu as x,y,z dans [0,1] cad > 0 (au sens large), donc le produit xyz > 0 et en 0 il vaut 0 donc c'est le minimum.
En fait, j'ai encore un petit soucis.
Pourquoi parlez-vous de la fonction f pour la question 1 ? Il s'agit de l'ensemble E.
La fonction f n'est définie qu'à la question 2.
Et, enfin, quel est le lien entre l'ensemble E et la fonction f ? E possède trois paramètres x,y et z alors que f n'en possède que deux x et y...
Merci !
E (l'ensemble des produits xyz) est l'ensemble des valeurs prises par la fonction qui à (x,y,z) associe xyz. Mais comme ces variables sont liées par x+y+z=1 soit z=1-x-y alors cette fonction c'est f car xyz = xy(1-x-y).
C'est ce qu'il me semblait aussi, j'avais trouvé bizarre que mon prof les regroupe m'enfin..
T'as fini les ENS vieux ?
Oui oui, je les ai passé en MPI (sauf que j'ai pas eu d'épreuves d'info vu que j'en ai jamais fait de toute ma vie ^^). Je reprends les cours demain. Toi aussi non?
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