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Fonctions discontinues et valeurs intermédiaires.
Bonjour à tous 
Je suis à la recherche d'une fonction f:R->R vérifiant une propriété particulièrement tordue:
(*) f est discontinue en tout point et l'image de tout connexe par f est connexe.
En gros, on cherche à montrer (assez violemment il est vrai) que la propriété des valeurs intermédiaires ne caractérisent pas les fonctions continues.
Je peine un peu... 
J'ai seulement réussi (je crois...) à construire une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et qui est discontinue sur Q. Mais elle n'a aucune raison d'être discontinue sur R tout entier.
Une idée?
Prenons une fonction dont l'image de tout connexe est un connexe. Prenons une suites An croissante qui tend vers un point x. on a f(x) = f(
[An;x]) = f([An;x]). Comme l'image d'un connexe est un connexe, on a forcément f(An)
f([An;x)) (1) (ca je t'en laisse la démonstration)
En passant à la limite dans (1), on obtient f(linm An) f([An;x]) = f(x)
D'où f est continue à gauche.
De même, f est continue à droite.
Donc f est continue.
... A mon sens.
J'ai pas lu ta démo, mais de toute façon c'est faux: le théorème de Darboux affirme qu'une dérivée vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et on sait bien qu'il existe des fonctions dérivables qui ne sont pas C^1 (typiquement, x->x²sin(1/x) qu'on prolonge par continuité en 0).
La propriété des valeurs intermédiaires ne caractérisent pas les fonctions continues, ça c'est un fait. Ce qu'on essaie de faire, c'est d'obtenir un contre-exemple violent (discontinue en tout point...).
En fait j'ai mal rédigé : f(x) = f(lim An) = f([An;x]) = f([An;x]).
De plus, du fait que An est croissante, si p
q f([Ap;x]) 
f([Aq;x]). De là on sait que, du fait de la conservation de la connexité, f(An) <1,n>f([Ak,x]). Donc, sauf erraeur, lim f(An) f([An;x]) = {f(x)}
Je n'ai jamais supposé ici que f est continue.
Mon but n'est pas de démontrer ton théorème, mais de te montrer que le contre-exemple que tu cherche n'existe pas. MAis bon je peux me tromper, l'erreur est humaine.
Bonjour
amaury > Tu veux démontrer que si f envoie tout connexe sur un connexe alors f est continue ?
Si oui, c'est faux, prendre par exemple sin(1/x) pour x # 0 et a € [-1,1] en x = 0.
Déjà, on commence par prendre une fonction dérivable dont la dérivée est bornée et continue sur R* mais pas sur R. (typiquement f:x->x²sin(1/x) )
On prend une numérotation des rationnels (\rm a_n) telle que soit sommable (<- j'ai pas checké proprement, mais je vois assez mal comment ça pourrait ne pas exister...)
Après, on pose .
On vérifie alors que g est bien dérivable sous le signe somme (le théorème de dérivation sous le signe somme ne s'appliquant pas ici, on le redémontre dans ce cas particulier... évidemment, la démo est exactement la même vu que les f' a la bonne idée d'être bornée.)
D'après Darboux, g' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Et on vérifie à la main que g' est bien discontinue sur tous les rationnels. (On a fait que transporter la discontinuité de f' en 0 sur tous les rationnels en fait...)
C'est peut être faux cependant, j'ai pas vérifié toutes les étapes de ma démarche n'ayant pas du tout envie de prendre un papier et un crayon pour me taper la démo comme quoi on peut effectivement dériver sous le signe somme par exemple... Je me suis convaincu moralement que j'avais quand même le droit. 
Mouais. Moi aussi j'ai essayé des bidouilles avec les rationnels mais sans succes. Je te donne quand même ma piste, c'est ton sin(1/X) qui m'a donné des idées.
Si tu prends K
tel que si qK alors 1/qk alors tu as (
qK(x-q))2 = (qK(x-q))).(qK(x-1/q)) = qK(x2-(q+1/q)+1) x2card(K)
Donc si tu prends une suite croissante d'ensemble Kn tels que K, et telle que 
Kn = , et si tu pose xn = x2.(qK(x-q))2/x2(card(Kn)+1), la suite (xn) est bornée.
Donc on peut extraire une sous suite convergente. Vu comment sont fichus les Kn,tu vois qu'on obtient avec cette limite une fonction de x qui s'annulle sur .
Malheyreusement je ne sais pas comment elle se comporte sur 
privé de
Tu sais je veux pas te décourager, je ne possède plus tes connaissances en math, mais dans le passé je suis quand même allé jusqu'en maîtrise, et je n'ai jamais entendu parler d'une fonction telle que celle que tu cherches. Peut-être qu'exiger qu'elle soit discontinue partout est un peu fort ?
Amis qui édudiez en master exprimez vous !!
Je l'ai pas inventé ce résultat. Il figure sur une liste de résultats non triviaux mais fort intéressant qu'on peut démontrer seulement avec des moyens de sup/spé. Evidemment, ya pas la correction. Mais tous les résultats que j'ai pu démontrer jusqu'à l'heure, aussi surprenant soient-ils, sont vrais!
Et pis en plus c'est faux ce que j'ai écrit. Tu t'en rendras compte. Pfffffffff je crois que je ferais mieux de m'adresser à des lycéens vu l'étroitessse de mes reste 
Je suis en MP* (l'équivalent des anciens M')... enfin, pour plus très longtemps j'espère, les résultats tombent bientôt, et j'ai pas vraiment envie de replonger pour un an...
Bonjour!
Je n'ai rien à te mettre sous la dent, mais je crois bien avoir aperçu ton nom sur la liste des admissibles à Ulm. Non?
C'était bien lui. Prions pour le revoir demain sur la liste des admis...
(même pas une toute petite minuscule mircroscopique idée? )
même pas une toute petite minuscule mircroscopique idée?
...Désolé!
Depuis l'agreg, j'ai perdu cette envie forcenée de me faire mal à la tête. C'est un peu dommage, mais c'est ainsi. Et puis je me suis aperçu que je commençais à dire des bêtises, alors quand le sujet a une intersection non vide avec le complémentaire de l'adhérence de mon intérieur, je préfère en général m'abstenir.
Pour résumer: pas de nain dix...
alors quand le sujet a une intersection non vide avec le complémentaire de l'adhérence de mon intérieur >> J'ai vraiment cherché 5 min pour voir s'il y avait un jeu de mots...
Bonjour,
je crois que la fonction donnée dans cet article 
correspond à ce que tu veux, enfin c'est défini sur ]0,1[,
mais il doit y avoir un moyen de s'arranger pour en définir une cousine sur IR à partir de celle-là.
Pas encore... ca devrait arriver d'ici ce soir ^^
note que le problème si tu construit tes fonction comme dérivé d'une fonction c'est qu'elles sont toujours continu sur un G delta dense...
ce contre exemple prouve au passage que le th de Darboux ne caractérise pas les fonctions qui sont des dérivés de fonctions continu
Dans le même genre, simon (alias Ksilver) vient de finir 2ème à l'agreg... (rassurez-vous, l'univers ne s'écroule pas, le major est quand même à ulm...)
Bravo!
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