Bonsoir.

Si les fonctions est définie sur R^n, ça fonctionne toujours. Si elles n'étaient pas égales, elles différeraient sur un ouvert non vide, et la mesure de Lebesgue charge les ouverts. (peu importe l'espace d'arrivée, du moment qu'il est topologique séparé, et muni de ses boréliens)

On voit que la propriété essentielle, c'est que la mesure d'un ouvert non vide doit être non nulle.
Pour les généralisations, je ne sais pas trop, c'est fort possible que pour l'intégration sur des espaces localement compacts, il y ait un analogue sous certaines conditions simples.

Mesure d'ouvert non vide, ça me parait très intuitif, et c'est comme le cas en réel. Simplement je n'ai pas saisi la nécessité de séparation de l'espace d'arrivée (à vrai dire n'ayant pas étudié vraiment cette notion, j'ai du mal à "visualiser" des espaces autres même si j'ai rencontré plusieurs fois la notion dans des bouquins)....Tu sembles vouloir dire que cette condition de séparation fait que la mesure d'ouvert est toujours non vide, c'est bien le cas?

Non, le fait que l'espace d'arrivée soit séparé n'impose rien à la mesure sur l'espace de départ !

Il faut que l'espace d'arrivée soit séparé pour trouver un ouvert sur lesquelles les deux fonctions différent.

En effet, si f et g sont continues de dans , avec Y séparé, et si elles sont distinctes, alors il existe tel que .
Alors on peut trouver deux ouverts et de disjoints, qui contiennent respectivement et . (c'est ça la définition d'être séparé : pour tout couple de points distincts, on peut trouver deux ouverts disjoints qui contiennent chacun un des deux points)
Par conséquent, est un ouvert non vide (ouvert car f et g continues, et non vide car il contient x).
Et on vérifie que f et g ne sont jamais égales sur cet ouvert. (car f prend ses valeurs dans U, et g ses valeurs dans V, qui sont disjoints)
Par conséquent, si l'espace de départ est de plus muni d'une mesure qui charge les ouverts non vides, c'est terminé, puisqu'on a trouvé un mesurable de mesure non nulle sur lequel f et g différent : elles ne sont pas égales pp.

Si tu as étudié les espaces topologiques généraux, ça me parait étrange que tu n'es pas vu les espaces séparés, puisque c'est dans ces espaces qu'on a unicité des limites.
En fait, dans un espace séparé, c'est comme s'il y avait au même endroit plusieurs points différents. (c'est très grossier comme image)

Oui je m'embrouille inutilement, pardon. Évidemment que ça n'a rien à voir avec la mesure....:/

Merci pour la démonstration.

Et non, à proprement parler je n'ai pas vu les espaces topologiques généraux. On a vu les métriques; à peine parlé de ce qu'est une topologie (et encore)....mais comme ça se trouve assez facilement, j'ai réussi à apprendre des trucs dessus. Je connaissais cette notion de séparation (avec d'autres notions de topologie) mais ne l'ayant pas vraiment traitée avec des exemples et contre-exemples "concrets" et vue en exercice, je dois admettre que le raisonnement ne paraissait à priori, pas évident. Mais finalement, ça s'explique bien. On veut utiliser la séparation de l'espace d'arrivée pour "créer" un ouvert sur lequel f et g diffèrent (je ne me rendais pas compte que c'était cette propriété que l'on utilisait implicitement dans le cas réel) si j'ai bien saisit.

Sinon, je voulais savoir, qu'est-ce qui garantit justement l'existence d'une mesure qui charge les ouverts non vides? Dans R^n, il suffit d'emprunter la mesure de M.Lebesgue. Mais dans des espaces plus abstrait, la question se pose, non?

Je te remercie à nouveau pour tes réponses et explications.

Bonjour,
si tu veux travailler dans le cas d'une mesure autre que la mesure de Lebesgue alors il suffit de prendre la mesure qui charge chaque élément, par exemple la mesure de comptage.

Ensuite si tu essayes de voir si ton truc est toujours vrai pour une mesure quelconque alors c'est clairement faux, tu peux prendre le Dirac en 0 et
f=0
g(x)=x

Tes fonctions sont loin d'être égales partout et pourtant sont égales partout sauf sur un ensemble de mesure nulle (et son bien continues).

Bonjour otto,

Oui je comprends que par égale presque partout, on sous-entend µ (mesure chargeant les ouverts)-presque partout.

Mais je ne te suis pas quand tu me parles de la mesure de comptage....pourrais tu détailler stp?

C'est la mesure qui vaut 1 sur tout singleton.

otto > Heu.....je sais ce qu'est la mesure de comptage :/ Ce que je veux dire c'est: comment tu veux utiliser la mesure de comptage dans le cadre de la question soulevée dans le topic? C'est ça que je n'ai pas compris...

Arkhnor > Sinon, je retire ma question. Je me rends compte qu'elle n'avait pas beaucoup de sens en fait; vu que la mesure est déjà une donnée du problème (c'est ce qui est sous-entendu dans presque partout....). Dsl pour mes remarques peu judicieuses (la fatigue?)....et merci pour les tiennes.....

Si tu veux des questions qui répondent correctement à ton problème il faut que tu poses un problème clair ...

Tu essaies de généraliser quelque chose qui est faux en général.
Tu cherches une mesure qui charge les ouverts non vide et je t'en ai fourni une ...

Ca répond aux questions non ?
Si ce n'est pas le cas il serait bon que tu poses clairement tes questions à nouveau pour savoir exactement ce que tu cherches ...

a+

Je ne comprenais pas le pourquoi de cet exemple parce que je n'ai jamais utilisé la mesure de dénombrement pour autre chose qu'un ensemble dénombrable (même si en soi ça n'a rien de compliqué de l'utiliser autrement). Je viens de voir que ça peut se faire. Mais ça explique pourquoi ta remarque ne me parlait pas spécialement (ce n'était pas non plus très dur à deviner)...

Ma question était en effet de savoir jusqu'où on peut généraliser le résultat. Mais je n'ai pas fais attention au fait que l'égalité presque partout dépend de la mesure (la mesure étant "fixée") et que conclure le dit résultat dépend du fait que le mesure charge un ouvert ou pas. C'est pourquoi je demandais s'il était possible de prouver l'existence d'autres mesures alors qu'en soit ça n'a pas beaucoup de sens puisque c'est une donnée du problème (et il faut justement qu'elle ait cette spécificité pour pouvoir conclure).....

Après, de ce que j'ai conclut de vos remarques (intéressantes), on pourrait généraliser en:

Soient f et g deux fonctions continues d'un espace topologique X dans un espace topologique séparé Y (tous deux munis des boréliens), s'il existe une mesure µ telle que pour tout ouvert A de X, µ(A)>0 et telle que f=g µ-pp, alors f=g partout.

Merci de me dire si j'ai bien saisit le truc ou si un détail cloche....

En tout cas je vous remercie pour vos explications et votre patience....

Je m'excuse pour le double-post mais la mesure de comptage n'a pas trop d'intérêt en soi. Puisque si µ est la mesure de comptage, être égales µ-pp c'est être égales partout....donc le résultat s'en suit indubitablement

Bonjour,
c'est faux, mon contre exemple avec la mesure de comptage te le prouve.
Tu peux prendre plein de topologies qui vont faire que c'est faux également ...

Ha okay!

Qu'est-ce qui fait que ça marche pour le mesure de Lebesgue alors?

En fait j'ai mélangé mes deux exemples, excuse moi, mon contre exemple n'en est pas un.
Cependant tu peux créer des topologies qui vont faire que ca ne marchera plus, en prenant par exemple très peu d'ouverts et en prenant des dirac .