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Fonctions et nombres complexes

Posté par guinea (invité) 09-05-07 à 20:56

Bonjour,
Voilà je bloque à certaines question et je voudrais savoir si vous pouviez m'aider au plus vite. L'énoncé est le suivant:

Partie A

Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x) = x² + x − (1+lnx/x)
.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;;)
Unités graphiques : 4 cmsur l'axe des abscisses, 2 cmsur l'axe des ordonnées.
1). On considère la fonction auxiliaire définie sur ]0 ; +∞[ par :
(x) = 2x^3 +x²+lnx.

a). Étudier le sens de variations de .

b). Démontrer que l'équation (x) = 0 a une solution unique qu'on appellera
. Trouver le nombre entier naturel p tel que :
p ×10−2(p +1)×10−2.

c). En déduire le signe de (x) suivant les valeurs de x.

2). a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b) Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe

représentative C ?
c). Étudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variations.

d). Soit la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x² +x et sa courbe représentative dans le repère (O;;)
Préciser les positions relatives des courbes C et .

e). Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
   x     0,2   0,4   0,6   0,8   1   1,2   1,4   2   2,5
   f(x)
Les valeurs de f(x) seront données à 10−2 près.
f. Tracer C et .

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;;)
À tout point M d'affixe non nulle z, on associe le point M′ d'affixe z′
tel que :
z′ = z² + z −(1+ln|z|/z)

On dit que M′ est l'image de M.

1). On considère les points P et Q d'affixes respectives e^(i/4)
et i.
Calculer les affixes des images P′ et Q′ de ces points. Placer P, Q, P′ et Q′.

2). a). est la demi-droite constituée des points d'affixe réelle strictement positive.
Soit M un point de , d'affixe x. Quelle est l'affixe de son image
M′ ?

b). En utilisant le tableau des variations de la fonction f , indiquer la valeur
de x pour laquelle l'abscisse de M′ est minimum.

c). Définir et représenter l'ensemble ′ des points M′ lorsque M décrit la
demi-droite .

Voilà, j'aimerai vrément qu'on m'aide. Je vous en remercie d'avance.

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 20:59

Bonsoir

A quelle(s) question(s) bloques-tu ?

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:05

Dans la partie A je bloque sur les questions du 2) sauf le petit e) et le petit f) et j'ai des gros soucis dans la partie B sur toutes les questions, j'ai fait quand même la question 1) mais je ne suis pas sûr de moi. Merci

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:11

Allons-y

3$ \rm x\to f(x)=x^2+x-\frac{1+\ln(x)}{x}

Ecrivons 3$ \rm f comme ceci :

3$ \rm f(x)=x^2+x-\frac{1}{x}-\frac{\ln(x)}{x}

A toi maintenant de trouver la limite en 3$ \rm \red +\infty

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:14

Oui j'ai réussi, par contre je bloque surtout sur les variations de f, en faite, avec l'aide de ma calculatrice, la fontion est décroissante puis croissante mais je n'arrive pas à démontrer, avec l'aide de calcul, du tableau de variation, qu'elle est décroissante. Si pouviez m'aider??

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:19

Pour commencer, que trouves-tu pour la dérivée de 3$ \rm f ?

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:21

alors je trouve f'(x)= 2x + 1 + (2-lnx)/x²
Est-ce que c'est ça??

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:24

Non ta dérivée n'est pas bonne.

Quelle est la dérivée du quotient 3$ \rm x\to \frac{1+\ln(x)}{x} ?

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:28

alors je trouve (2-lnx)/x²
  

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:35

Ici on a la forme 3$ \rm \frac{u}{v} avec 3$ \rm \{u(x)=1+\ln(x)\\v(x)=x

La dérivée est 3$ \rm \frac{u'v-uv'}{v^2}

As-tu appliqué correctement la formule de dérivation ?

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:40

Dans ce cas là je trouve f'(x)= 2x + 1 - (1+lnx/x²)
cette fois-ci c'est ça ??

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:41

désolé j'ai mal écrit je trouve f'(x) = 2x + 1 + (-1+lnx/²)

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:42

ohlala, f'(x) = 2x + 1 + (-1+lnx/x²)
encore désolé

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:50

Non toujours pas.

Quelle est la dérivée de 3$ \rm u ? de 3$ \rm v ?

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:53

alors la dérivée de u c'est u'= 1/x et de v c'est v'= 1

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:55

Exact !

Applique la formule maintenant.

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:57

quand j'applique la formule je trouve (-1+lnx)/x²
donc je trouve en tout comme dérivée f'(x)= 2x + 1 + (-1+lnx)/x²
c'est pas ça?

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 21:59

Non.

Regarde : 3$ \rm \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{v(x)^2}=\frac{\frac{1}{x}.x-(1+\ln(x)).1}{x^2}=\frac{1-1-\ln(x)}{x^2}=-\frac{\ln(x)}{x^2}

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:05

j'avais oublié le +1, je suis désolé, j'ai remarqué mon erreur. merci.
par contre j'ai toujours le même soucis, je n'arrive pas à démontrer que c'est décroissant au début...

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:08

Oui doucement

Donc tu es d'accord la dérivée de 3$ \rm f est :

3$ \rm f'(x)=2x+1+\frac{\ln(x)}{x^2}

Et après réduction au même dénominateur, tu obtiens :

3$ \rm f'(x)=\frac{2x^3+x^2+\ln(x)}{x^2}

Et là miracle, tu remarques que 3$ \rm f'(x)=\frac{\varphi(x)}{x^2}

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:13

ah oui effectivemnt...
De plus ça me débloque
Je vous remercie beaucoup
Maintenant il y a plus que la partie B qui me bloque énormément...

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:16

De rien

Qu'as-tu trouvé pour la première question ?

PS : tu peux me tutoyer

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:20

Alors j'ai trouvé que P' a pour affixe e^(i/2) (e^(i/2) + 1 + ( 1+i/2)e^(-1))
Mais je ne pense pas que ça soit ça...

et pour Q' j'ai trouvé -1-(2 + lni)/i

Posté par
infophilere : Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:28

Houla c'est bien compliqué tout ça

Tu as 3$ \rm z'=z^2+z-\frac{1-\ln|z|}{z}

Tu prends 3$ \rm z=e^{i\frac{\pi}{4}}

3$ \rm z'=\(e^{i\frac{\pi}{4}}\)^2+e^{i\frac{\pi}{4}}-\frac{1-\ln\|e^{i\frac{\pi}{4}}\|}{e^{i\frac{\pi}{4}}

Or 3$ \rm \|e^{i\frac{\pi}{4}}\|=1 donc :

3$ \rm z'=e^{i\frac{\pi}{2}}+e^{i\frac{\pi}{4}}-e^{-i\frac{\pi}{4}

Je te laisse simplifier en sachant que 3$ \rm e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)

Je dois partir, bonne soirée

Posté par guinea (invité)Fonctions et nombres complexes 09-05-07 à 22:29

merci encore bonne soirée


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