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fonctions holomorphes/ conditions de Cauchy
Bonsoir!
Je voudrais savoir si, pour une fonction à valeurs complexes, le fait qu'elle vérifie les conditions de Cauchy est suffisant pour qu'elle soit holomorphe, ou si c'est simplement nécessaire.
Merci!
Bonsoir
Je ne suis pas tout à fait sûr de ça : il faut aussi supposer que f est différentiable.
J'ai devant les yeux un papier sur lequel est écrit ce qui semble être un contre exemple :
si z est non nul et f(0)=0.
J'essaie de vérifier à la main que c'est effectivement un contre-exemple.
Kaiser
Salut Kaiser !
J'ai trouvé cette condition ici : 
Mais effectivement dans mon cours on a supposé aussi f différentiable.
Je confirme :
Note et
les parties réelles et imaginaires de f (identifiées à des fonctions de deux variables x et y)
On a pour x réel,
ceci tend vers 0 lorsque x tend vers 0 donc :
On a pour y réel,
Ceci tend vers 0 lorsque y tend vers 0 donc :
Les relations de Cauchy-Riemann sont bien vérifiées pourtant f n'est pas -dérivable en 0 (elle n'est pas même pas continue).
Kaiser
Salut !
Je confirme que si on met juste les condition de CR ca ne marche pas : on impose uniquement des condition pour les dérivé selon l'axe verticale et l'axe horizontal. il suffit de prendre une fonction qui a un comportement singulier selon les diagonale (c'est le cas du contre exemple de Kaiser, exp(-1/z^4) tend vers l'infinit quand z->0 selon les diagonal, et vers 0 quand z-> 0 selon les horizontal et les vertical) pour avoir des choses bizare
ceci dit, je crois pas qu'on ai bessoin d'aller jusqu'a C1 : le simple fait de supposer "f continu" est suffisent si je ne me trompe pas (à cause du fait que les conditions de CR implique que P et Q ont un laplacien nul, et que continu+laplacien nul = harmonique qui implique entre autre C1...)
et puis j'ajouterai que c'est tellement etrange de parler de dérivé partielles de fonction non continu que je comprend le point de vue de l'auteur du document joint ici ^^ (meme si comme le montre l'exemple de Kaiser, les fonction partiellement dérivable mais non continu ca existe ^^ )
Salut Ksilver
à cause du fait que les conditions de CR implique que P et Q ont un laplacien nul,
A condition qu'on puisse avoir le droit de dériver une seconde fois (pour avoir le laplacien).
Kaiser
ceci dit, je crois pas qu'on ai bessoin d'aller jusqu'a C1
si tu fais référence à mon premier post, je disais différentiable (pas continûment différentiable)
En résumé : CR+différentiable suffit
Kaiser
CR+différentiable suffit >>> je suis d'accord, c'est relativement imédiat. mais je pense que CR+Continu, est encore suffisent. (voir peut-etre meme CR + localement borné, mais la je m'engage surement un peu trop ^^ enfin, avis au contre-exemple ^^ )
En fait localement intégrable suffit car l'opérateur de cauchy riemann est hypo elliptique puisque comme l'a dit Ksilver si T est une distribution holomorphe alors T est une distribution harmonique...et ilest "bien connu" que le laplacien est hypo elliptique.
Je rappelle la défintion d'hypoelliptique...Un opérateur sur l'espace des distributions, D est dit hypoelliptique si les solutions de l'equation DT=S sont C infini hors du support de S. Bref un mot bien compliqué pour un truc tres simple.
Si vous voulez la démo de l'hypoellipticité du laplacien je la posterai...
Heu non j'ai fait une erreur dans la définition...hypoelliptique c'est si DT=S et S est Cinfini alors D est Cinfini mais la propriété de mon précedent post (qui est vraie pour le Laplacien donc pour Cauchy Riemann) suffit pour pourver ce qu'on voulait...
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