Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les fonctions idempotentes. Voici l'énoncé:

Soit E un ensemble et p une application de E dans E.
1)montrer que si p est idempotente et injective ou surjective, alors p=id
2)montrer que p est idempotente ssi x p(E), p(x)=x
3)on suppose que E est de cardinal fini n. Calculer le nombres d'applications idempotentes de E dans E.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant:

1)J'ai réussi a montrer que si p est idempotente et injective, alors p=id.
Mais je n'arrive pas a traduire la propriété de surjectivité de p d'une maniere satisfaisante pour pouvoir conclure.

2)En partant de x p(E), p(x)=x, la conclusion est quasiment évidente. Mais je ne suis pas sûr de bien comprendre la réciproque: implique-t-elle que p est la fonction identité puisque p(E)E?

3)Ici, je suis quasiment certain qu'il faudrait utiliser ce qu'on vient de montrer a la question précédente. Le nombre d'applications idempotentes correspond alors a celles qui vérifient p(x)=x pour tout x de p(E). Mais comment les compter?

Merci d'avance pour votre aide.