Bonjour,

a)
Soient x1 et x2 dans E, x1 x2
h(x1) = (f(x1),g(x1))
h(x2) = (f(x2),g(x2))
Si c'est f qui est injective, alors f(x1) f(x2)
Si c'est g qui est injective, alors g(x1) g(x2)
donc de tous les cas h(x1) h(x2)

b)
En général non :
Pour que h soit surjective, il faut que, pour tout (a,b) dans FxG, il existe x dans E tel que a = f(x) et b = g(x). Cela implique que x appartient à f^-1(F) et x appartient aussi à g^-1(G) donc x appartient à f^-1(F)g^-1(G). Mais rien ne permet d'affirmer que cette intersection est non vide ! Tu peux faire l'intéressant exercice de construire un contre-exemple...

CORRECTION
Pour b), ce que j'ai écrit n'est pas correct, car le fait que l'intersection des images réciproques soit non vide n'implique pas que tout (a,b) y a un antécédent .
En fait il est trrès f exhiber un contre-exemple :
E = F = G =
f(x) = x, g(x) = 2x
f et g sont bijectives donc surjectives
(a,b) = (1,3)
f^-1(1) = {1}
g^-1(3) = {3/2}
donc il n'existe pas de x dans tel que h(x) = (1,3)
donc h n'est pas surjective

Je voulais dire : En fait il est très facile d'exhiber un contre-exemple...