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fonctions usuelles

Posté par
tny 22-10-09 à 19:42

bonjour , j'ai quelques problèmes  

je dois étudier f(x)=arctan ((1-sin x)/(1+sinx))

donc tout dabord je détermine l'ensemble de définition

la fonction x 1-sinx/1+sin x est définie sur R\{-pi/2+kpi}
et la fonction racine carré est définie sur R+.
On a  (1-sin x)/(1+sinx)0 ssi xpi/2+2kpi

donc comme arctan est définie sur R , f est définie sur ]-pi/2,pi/2]

et pour l'étude j'utiliserai l'égalité pour tout x de ]-pi/2,pi/2]

1-sin x /1+sin x = tan²(pi/4+x/2)

merci de votre aide

Posté par
tnyre : fonctions usuelles 22-10-09 à 19:48

Je serais tenter d'écrire

f(x)=arctan(rac((tan²(pi/4-x/2)))

donc pour tout x de ]-pi/2,pi/2]  f(x)=arctan tan(pi/4-x/2)

donc f(x)=pi/4-x/2

Posté par
tnyre : fonctions usuelles 22-10-09 à 20:03

Posté par
tnyre : fonctions usuelles 22-10-09 à 20:29

Posté par
raymond Correcteurre : fonctions usuelles 22-10-09 à 20:36

Bonsoir.

fonctions usuelles

Posté par
tnyre : fonctions usuelles 22-10-09 à 20:37

uai , en effet tout est faux

Posté par
raymond Correcteurre : fonctions usuelles 23-10-09 à 00:34

1°) f est 2 périodique. On peut donc l'étudier sur un intervalle du type [- ; ] (sous réserve d'existence) puis compéter par translation.

2$\textrm\fra{1-sin(x)}{1+sin(x)} est positif ou nul et défini pour x 2$\textrm\fra{-\pi}{2}

Donc, le domaine d'étude sera : D = [- ; 2$\textrm\fra{-\pi}{2} [ ]2$\textrm\fra{-\pi}{2} ; ]

2°) On montre assez facilement que :

2$\textrm\fra{1-sin(x)}{1+sin(x)} = tan^2(\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2})

Donc : 2$\textrm f(x) = Arctan(|tan(\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2})|

3°) On étudie soigneusement les variations de 2$\textrm\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2} sur D.

a) 2$\textrm\fra{-\pi}{2} < x 2$\textrm\fra{\pi}{2} 0 2$\textrm\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2} < 2$\textrm\fra{\pi}{2}

Donc, les valeurs absolues tombent et il reste

2$\textrm\fbox{f(x) = \fra{\pi}{4}-\fra{x}{2}}

b) 2$\textrm\fra{\pi}{2} x 2$\textrm\fra{-\pi}{4} 2$\textrm\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2} 0

Il faut donc prendre l'opposé. Il reste

2$\textrm\fbox{f(x) = \fra{x}{2}-\fra{\pi}{4}}

c) - x < 2$\textrm\fra{-\pi}{2} 2$\textrm\fra{\pi}{2} < 2$\textrm\fra{\pi}{4}-\fra{x}{2} 2$\textrm\fra{3\pi}{4}
Là, on est en dehors des clous pour inverser Arctan, donc, on utilise :
tan(-u) = - tan(u). Il reste

2$\textrm\fbox{f(x) = \fra{3\pi}{4}+\fra{x}{2}}


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