Salut,

ta fd est fermée si
edit Kaiser

Mon écriture est-elle correcte pour la 1-forme ? J'avoue être un peu perdu avec tous ces indices :/

Ici, il devrait y avoir et donc dans l'écriture générale, si je remplace, la somme disparait non ?

Ah non, puisque parcourt , donc on aurait ie   ?!?

Cela me semble correct !
Et est-ce quelqu'un a un exemple d'une 2-forme différentielles ?

Coucou! Toujours prête!

Re

On va faire la 3) :

J'ai la flemme de latexifier désolé :

df/dz = 3x^4

f(x,y,z)-f(x,y,0) = int(0,z)df/dz(x,y,t)dt = int(0,z)3x^4dt = 3zx^4

f(x,y,z) = 3zx^4 + g(x,y) avec g(x,y) = f(x,y,0)

df/dy = dg/dy = 3x²y² et df/dx = 12zx^3 + dg/dx = 12x^3z+2xy^3 d'où :

dg/dx = 2xy^3 et dg/dy = 3x²y².

g(x,y)-g(0,y)=int(0,x)g(t,y)dt=int(0,x)2ty^3dt = 2xy^3

h(y) = g(0,y). h'(y) = dg/dy - 6xy² = 3x²y²-6xy² = 3y²(x²-2x)

h(y) = (x²-2x)y^3 + C

f(x,y,z) = 3zx^4 + 2xy^3 + (x²-2x)y^3 + C = 3zx^4 + x²y^3 + C

Une primitive de w est donc

Ta forme différentielle w est exacte donc à fortiori fermée (d'après Schwartz), ce qui t'évite de traiter la 2).

Salut Kevin. Je ne sais pas si son correcteur appréciera de sauter la 2) D'autant plus que c'est risqué de se lancer dans un tel calcul sans savoir d'abord qu'elle est fermée!

Bonjour Camélia

Risqué je ne pense pas étant donné qu'on nous dit : "trouver une primitive" c'est qu'elle existe à coup sûr si l'on en croit l'énoncé.

Après oui un peu culotté de sauter la 2)

Bonjour à vous,
Pour montrer qu'elle est fermée il suffit d'en calculer la différentielle!

Attention ce n'est pas parce qu'une 1-forme est fermée qu'elle est necessairement exacte. C'est vrai (tautologiquement) si le est trivial, ici il est trivial parce R^3 est contractile. Ca ne te change rien pour le calcul, cela dit tu st sur qu'l aboutira!

Bonjour Rodrigo !

Oui on a vu encore par exemple que est fermée sans être exacte sur le plan privé de l'origine.

Ca veut dire quoi contractile ? Je n'ai pas pigé ton explication.

Ici je disais juste qu'on prenait peu de risque à faire la 3) avant la 2) parce que l'énoncé sous entend qu'une primitive existe.

encore = en cours (lapsus révélant que je n'ai pas envie d'y retourner..encore )

Je me doute qu'e spé tu ne connais pas l'homologie de De Rahm, mais H est en M1 me semble-t-il il doit donc en avoir entendu parler.

Le H^1 de De Rham mesure "l'écart" entre les 1-formes fermes et les 1-formes exactes. Ton exemple est tres bon, sur C privé de l'origine la forme "angulaire" est bien définie elle est fermée non exacte. Comme en fait c'est la seule, le H1 est un espace de dimension 1 engendré par cette forme (bon modulo les formes exactes mais passons).

Bref jusqu'ici rien de magique, puisqu'a priori il faut connaitre quelles sont les formes fermées et quelles sont les formes exactes pour calculer le H1, mais la bonne nouvelle c'est que le H1 (et les H^n en fait) dépendent en fait uniquement des propriétés géométriques (et même homotopiques) de ton espace, c'est le lemme de Poincaré. Ainsi le H1 compte grosso modo le nombre de trous de dimension 1, dans ton exemple il y a 1 trou de dimension 1 et le H1 est de rang 1, SI tu fais enlèves deux points dans le plan complexe  le H1 sera de rang 2.

C'est ce que tu vois en prepa, quand tu dis qu'un ouvert 1-connexe (ou étoilé), donc sans trou, possède un H1 trivial, c'est à dire que toutes le formes fermées y sont exactes.

Contractile ca veut dire "déformable continument en un point" (rigoureusement de même type d'homotopie que le point)

Bon je ne veux pas pourrir ce topic mais comme il me semble que H a obtenu les réponses aux 3 questions je me permet d'en poser d'autres :

Du tout ca m'ennuie pas de t'expliquer....mais c'est juste que ce sera long... C'est de la géométrie...vous en faites pas en prepa.


Pour savoir que c'est la seule faut faire un eu de géométrie! (je vois pas de moyen vraiment élémentaire de le prouver, cela dit Camélia doit etre plus calée que moi en topologie algébrique, il faudrait faire des deécoupages avec des partitions de l'unité...)

Alors une homotopie c'est la chose suivante, si tu te donnes deux esp topologiques (disons métriques si tu sais pas ce que c'est) ont dit que deux application f:X->Y et g:X->Y sont homotopes si il existe une application continue F:[0,1]xX -> Y, continue telles que F(0,.)=f et F(1,.)=g, c'est à dire que tu peux passer coitnuement de f à g. (regarde ce que ca veut dire par exemple si f et g sont des courbes dans R²).

Deux espaces ont le meme type d'homotopie si tu as deux applications f de X dans Y et g de Y dans X tel que fog soit homotope a l'identité de Y, et gof homotope a l'identité de X.

Bon hé bien le lemme de poincaré te dit que si X et Y ont meme types d'homotopies (y a un peu plus d'hypothese que ca en fait, il faut que X et Y soient des variétés différentiables,mais si on se place dans le cas d'ouvert de R^n ca amrche tres bien) alors elles auront les mêmes H^n.

Parmi les homotopies il y en a certaines particulières qu'on aime bien, ce sont les retarctions par déformation, on dit que X est retract par déformation de Y, si tu a inc:X->Y et f:Y->X, ou inc est une homéomorphisme sur son image (typiquement l'inclusion) tel que f o inc=id et inc o f homotope a l'identité de Y.

Par exemple prend un convexe et un point dans le convexe il est facile de montrer que le point est un retarcté par déormation du convexe.

Ceci est souvent utile

Pour calculer les H^n, avec en plus l'outil fondamental, la suite exacte longue de cohomologie.

LA suite dite de Mayer Vietoris assure que tu une suite exacte de cohomologie (c'est un delta foncteur dans la terminologie moderne)



Et ceci permet de montrer par exemple que sur C privé d'un seul point...ben le H^1 est de rang 1.

Bref ce sont des trucs assez fondamentaux et pas difficiles, moi ca été ma première approche d'un théorie de Cohomologie et je dois dire (meme si elle est moins instinctives que l'homologie singulière par exemple) qu'elle permet de pas mal appréhender ce qui se passe pour d'autre théories (co)homologiques.

Ok pour l'homotopie, je te remercie pour la culture

_{Mais je vais m'arrêter là j'ai déjà pas mal de choses à revoir sur le programme de spé}

Bonne soirée !

Pour une 2-forme différentielle sur , alors dans l'écriture générale j'ai où .

Alors je ne saisi pas l'expression avec .

Et pour je ne reconnais pas vraiment l'expression général :/

J'écris la forme générale avec j'ai essayé d'éviter les indices!



Oublie celle que j'ai mis au hasard. Essaye de montrer que celle-ci est fermée:



Petit commentaire: ce qu'il faut peut-être retenir, c'est que le fait que sur un ouvert il y a "peu ou beaucoup" de formes fermées et non exactes, est une caractéristique de la "forme de l'ouvert". C'est une manière de compter les "trous". Comme dit plus haut, la situation n'est pas la même sur ou sur qui a un trou!

Merci pour l'écriture de la 2-forme différentielle Camélia !
Pour montrer qu'elle est fermée, je dois calculer , ce que je ne sais pas faire

Que dois-je dériver dans l'expression, et en fonction de quelle variable ?

Pour la 1-forme déjà du début je ne vois pas comment calculer dw

Pour w:



Je n'ai pas écrit les termes évidemment nuls comme . Pour arranger tout ça n'oublie pas que

Donc j'ai :



+

+



Après, je trouve en enlevant les termes superflus :



Soit :


Ce qui fait bien 0, avec !

Comme ça devait faire 0, je te crois sur parole!

Maintenant, comment puis-je faire la iii) ?

Citation :
Trouver f différentiables sur telle que w=df.

Ben, Kevin l'a fait! 10/05 15:48

Tu cherches f telle que et

Ca parait raisonnable de commencer à partir de la dernière: ...

IMPECCABLE !
Ca marche super, merci beaucoup à tous

C'est vrai que sans LateX c'est moche, ça donne pas envie de lire mon post