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Formule de calcul de racine carrée assez puissante

Posté par
gui_tou 12-10-07 à 22:29

Bonsoir à tous

Je voulais vous montrer, si vous ne la connaissez pas encore, une formule basée sur une suite, qui calcule de manière assez remarquable une racine carrée

Voici la procédure :

Citation :
Soit a un nombre réel positif fixé.

On définit la suite 3$ \rm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} par : 3$ \rm \forall n \in \mathbb{N} :  4$\red \rm \fbox{u_0=a \\u_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(u_n+\frac{a}{u_n}\Big)


Cette suite converge très rapidement vers 4$\blue \rm \sqrt a.
On dit que la vitesse de convergente de cette suite vers 4$\blue \rm \sqrt a est quadratique.

Pour n=6, la précision est déjà de 10-16 !!

Pour les sceptiques, un exemple

On cherche une valeur approchée de \sqrt{11

On définit la suite 3$ \rm (u_n)_{n\in\mathbb{N}} par : 3$ \rm \forall n \in \mathbb{N} :  4$ \rm \fbox{u_0=11 \\u_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(u_n+\frac{11}{u_n}\Big)

3$u_1=6 \\ u_2=3.9166666666666666666666666666666666666666666666666 \\ u_3=3.3625886524822695035460992907801418439716312056737 \\ u_4=3.3169389347304571878394878209766778294469281786344 \\ u_5=3.3166248052315688594716804467471154044996063696122 \\ u_6=3.3166247903553998824772238338765286273147467261701

Et comme 2$\rm \sqrt{11}=3.3166247903553998491149327366706866839270885455894, la précision pour n=6 est de 3,3\times 10^{-17}


En cours on verra la démonstration un peu plus tard, donc je vous donnerai des nouvelles


Voilà

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 12-10-07 à 22:46

Ah en cherchant un peu il s'agit de la formule de Héron, ultra connue, donc je ne vous apprends rien

Posté par
Epicurienre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 12-10-07 à 23:08

Salut

Ah, je ne connaissais pas . Merci de l'info

Kuider.

Posté par
bigzpandare : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 12-10-07 à 23:19

Pour la démo de la limite:
Si on admet que la suite est monotone et bornée(la flemme de faire cette partie), alors la suite admet une limite L.
\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n})=\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1})=\lim\limits_{n \to \infty}1/2(a_{n}+\frac{a}{a_{n}})=1/2(L+\frac{a}{L})=L

1/2(L+\frac{a}{L})=L <=>L=\pm\sqrt{a}
Or tous les termes sont positifs, donc L=\sqrt{a}
sauf erreur.

Posté par
Violoncellenoirre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 02:12

très jolie formule

Posté par
freniclere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 09:05

Bonjour gui_tou

Zoustine a besoin d'un coup de main   :
Methode d'Héron

Cordialement
Frenicle

Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 11:14

Salut

Connue cette suite ! Tient pour m'entrainer je vais la programmer sur Maple ^^ (on a commencé l'algo c'est chouette )

Avant ça je vais commencer mes DM

T'as beaucoup de boulot guitou ce week end ?

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:19

Bonjour à tous

Merci pour la démo bigzpanda, je prendrai un peu d'avance comme ça

Kévin >> Je sors de 4 heures de DS (chimie/SI) et je suis faaatigué (et un peu malade ) ! Et comme oui, j'ai beaucoup de devoirs (DM maths + physique + leçons ^^), je me réserve le dimanche pour ça

Allez ça me fait plaisir
> restart;Digits:=50:a:=7:n:=10:

> racine:=proc(a,n)local k,r:
> r:=a:
> for k from 1 to n do
> r:=evalf(1/2*(r+a/r)):
> od:
> r;
> end;

> racine(11,6);

Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:24

Alors le DS comment ça s'est passé ?

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:28

Je ne veux pas faire ma chochotte, mais je suis vraiment pas au top de ma forme. J'avais pas super envie de réfléchir à cause d'un mal de tête

La chimie : un peu catastrophique .. Surtout que j'ai reçu la correction tout-à-l'heure par mail
La SI : bizarrement, je me suis débrouillé, je pense avoir réussi ce que j'ai fait

Et toi, beaucoup de boulot ?


Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:40

Ok ben tu verras bien, et au DS de maths que tu m'as parlé dans le couloir tu te situes bien dans ta classe non ? Parce que j'ai parlé à laura et elle a eu comme note le premier nombre premier

Moi j'ai un DM de maths sur la géométrie (plan & espace), un DM de physique sur l'optique, et je dois préparer le DS de maths, le DS d'anglais et de français

Les exos je pense que ça va passer à la trappe

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:45

Semaine bien remplie dis-donc

En maths, je suis classé 7° pour le moment. J'espère que je vais progresser (pour être digne de toi ) Arf la pauvre Laura
Mais j'ai fait des erreurs d'identifications au devoir, je suis vraiment un boulet ^^

Pour la gestion du week-end, je crois que je vais passer un peu moins de temps sur les DM, c'est très chronophage


Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:49

Ben c'est bien bravo

Le DS de maths de lundi c'est sur la géométrie et les équa diff, j'espère que ça ira !

Oui les DM me bouffent tout mon temps, surtout que c'est pas noté voir un coefficient infinitésimal

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:50

Je croiserai les doigts pour toi

La seule question que je me pose c'est si tu vas avoir un retrait de points

Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:54

Merci

Si c'est un retrait comme la dernière fois ça ne m'embête pas :D

M'enfin la géométrie c'est pas mon truc, je vois rien dans l'espace

Allez je vais faire le DM d'optique

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 16:56

May the force be with you

Bon DM

Posté par
Epicurienre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 17:00

Salut à vous

Bon courage.

Posté par
infophilere : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 17:05

Merci les gars

Optique powaaaa ^^

Posté par
Epicurienre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 13-10-07 à 17:19

Posté par
Skopsre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 14-10-07 à 14:24

Pourquoi une vitesse de convergence quadratique ?

Skops

Posté par
gui_toure : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 14-10-07 à 14:26

Salut Skops

La convergence en est quadratique : l'écart entre chaque terme et la limite sqrt A évolue comme le carré de l'écart précédent.



Posté par
Skopsre : Formule de calcul de racine carrée assez puissante 14-10-07 à 15:22

Merci

Skops


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