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Formule de Héron

Posté par titoune571 (invité) 12-04-06 à 17:43

bonjour! pourriez vous m'aider pour ce calcul????mercii
Enoncé:
soit ABC un triangle. On note S son aire et p son demi périmètre p=\frac{1}{2}(a+b+c)
1)j'ai démontré que cosA= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
2) j'ai vérifié que sin²A= (1-cos A)(1+cos A) é je dois démonté la relation suivante:

           sin A= \frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
voici mes calculs:

sin²A=(1-cos A)(1+ cos A)
sin A= \sqrt{(1-cos A)(1+ cos A)}
sin A= \sqrt{[\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{(2bc)^2}].[\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{(2bc)^2}]
en développant je trouve
sin A=\sqrt{\frac{(-a^4-b^4-c^4+2a^2c^2+2a^2b^2+2b^2c^2}{(2bc)^2}

donc \sqrt{(2bc)^2)= 2bc
mais je voudrais savoir si -a^4-b^4-c^4+2a^2c^2+2a^2b^2+2b^2c^2 est une identité remarquable
Est ce la bonne démarche?? Merciii

Posté par
Roulianere : Formule de Héron 12-04-06 à 17:53

Bonjour,

Ce que tu peux faire, c'est développer p(p-a)(p-b)(p-c), et regarder si tu arrives à ce que tu as sous la racine

Rouliane

Posté par titoune571 (invité)re : Formule de Héron 13-04-06 à 12:59

il y aurait pas une autre solution pour y arriver directement??

Posté par
Roulianere : Formule de Héron 13-04-06 à 13:44

Si, y'a une autre solution :

Tu es arrivée à :

3$sin(A)=\sqrt{(\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{(2bc)^2})(\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{(2bc)^2})}

Or : 3$2bc-b^2-c^2=-(b-c)^2 donc \fbox{3$2bc-b^2-c^2+a^2=a^2-(b-c)^2}

De même : 3$2bc+b^2+c^2 = (b+c)^2 donc \fbox{3$2bc+b^2+c^2-a^2=(b+c)^2-a^2}

Tu utilises ensuite l'identité remarquable : 3$A^2-B^2=(A-B)(A+B) et tu arrives au résultat

Rouliane

Posté par titoune571 (invité)re : Formule de Héron 13-04-06 à 22:19

merci je vais essayer!!
Emilie


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