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formule de Taylor et dérivée seconde
Bonjour à tous,
J'ai un problème sur un exo dans la partie Intégration.
Voila les hypothèses :
Soit f: R-> R une fonction de classe C² telle que f et f'' admettent des limites finies en + infini, notées l et l''
Le but est de montrer que f' et f'' ont pour limite 0 en + infini
1) Pour x>0, écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 entre x et x+1
2) En déduire que lim f' = - l'' / 2 en + infini
3) Montrer que lim f' = 0 en + infini. Conclure
Bon pour la 1) j'applique la formule de façon bête et méchante, et j'isole f'(x) et il vient que
f'(x) = f(x+1) - f(x) -
J'ai essayé en réécrivant le reste intégral sous la forme
mais je tourne en rond =/
Je ne comprends pas pourquoi non..
J'ai pourtant a = x, b = x+1 , je remplace dans la formule de taylor et puis voilà non? Ou alors j'ai vraiment besoin de vacances.... ^^
mais pourtant la formule c'est :
f(b) =
donc a l'ordre 1 il ne sort pas de 2!
Je pense avoir fini par trouver comment faire apparaître le l"/2
f'' est continue
Soit x>0 et t dans [x;x+1]
soit m= min(f") sur [x;x+1] et M = max(f") sur [x;x+1]
qqsoit t dans [x;x+1] m<= f"(t)<= M
on multiplie par (x+1-t) >=0
donc m(x+1-t)<= (x+1-t)f"(t)<= M(x+1-t)
Par positivité de l'intégrale:
or limite de f" en + infini = l"
soit e>0 : il existe A dans R tq pour tout x >A l"-e<f"(x)<l"+e
en particulier on a l-e < m et M<l+e
donc on a (l"-e)/2 <= <= (l" +e)/2
ie -l"/2| <=e/2
donc tend vers l"/2 lorsque x tend vers + infini
pour la question c) On sait que f' admet une limite finie en + infini
Supposons l' > 0
Alors f serait strictement croissante au voisinage de + infini, ce qui met en défaut le fait que f ait une limite finie en + infini
Idem si l'< 0
donc l' = 0 => l"=0
Merci carpediem. Sur le coup vous m'avez vraiment fait douter ^^
J'ai relu au moins 10 fois ma formule (au moins elle sera rentrée dans ma tête comme ça).
En tout cas vous vous êtes occupé de moi et c'est déjà très gentil de votre part =)
la fonction x --> -1/x2 est strictement croissante et à une limite finie à l'infini ......
TAF ::: il existe h dans [x, x+1] tel que f(x+1) - f(x) = f'(h) avec h dans ]x, x+1[
le premier terme tend vers 0 à l'infini .....
en fait quand x tend vers + infini h tend aussi vers + infini, donc ca légitime le fait que f'(x)-> 0?
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