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formule des accroissements finis

Posté par
laskov 26-10-09 à 23:10


BONJOUR;
voila un exercice sur la theoreme des accroissements finis :

Exercice:
En utilisantla formule des accroissements finis à la fonction f(x)=ln(|ln(x)|)
1-Montrer que: ∑(1/klnk) pour k de 2 à n > ln(ln(n+1))-ln(ln2)
2-En deduire la valeur de Lim n→+∞ ∑(1/klnk) pour k de 2 à n


si vous connaissez les reponses postez les,
et merciii d'avance!

Posté par
laskovre : formule des accroissements finis 26-10-09 à 23:54

BONJOUR;
voila un exercice sur la theoreme des accroissements finis :

Exercice:
En utilisantla formule des accroissements finis à la fonction f(x)=ln(|ln(x)|)
1-Montrer que: ∑(1/klnk) pour k de 2 à n > ln(ln(n+1))-ln(ln2)
2-En deduire la valeur de Lim n→+∞ ∑(1/klnk) pour k de 2 à n


si vous connaissez les reponses postez les,
et merciii d'avance!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : formule des accroissements finis 27-10-09 à 00:13

Bonsoir laskov ;

la fonction x\to\ell n(\ell nx) est dérivable sur [2,+\infty[

pour tout entier k\ge2 la TAF sur [k,k+1] donne l'existence de c\in]k,k+1[ tel que f(k+1)-f(k)=f^'(c)

c'est à dire \ell n(\ell n(k+1))-\ell n(\ell nk)=\frac{1}{c\ell nc}\;\ge\;\frac{1}{k\ell nk}

d'où pour tout entier n\ge2 , 3$\Bigsum_{k=2}^n \ell n(\ell n(k+1))-\ell n(\ell nk)\;\ge\;\Bigsum_{k=2}^n\frac{1}{k\ell nk} ... sauf erreur bien entendu

pas la peine de réecrire l'énoncé !

4$\fbox{NB} avec la même démarche tu peux même déterminer un équivalent simple de 4$\Bigsum_{k=2}^n\frac{1}{k\ell nk}


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