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Formule du binôme et partie entière
Salut à tous!
Je bloque sur une petite question d'un exercice:
Montrer que (2-racine(3))^n + (2+racine(3))^n est un entier pair d'après la formule du binôme...
Je bloque complètement.
J'ai déjà montré dans les questions précédentes que : E(x+y)-E(x)-E(y) appartient à {0,1} et j'ai calculé E((2-racine(3))^n qui donne 0 ...
Merci d'avance pour votre aide !
Bonne soirée.
Et que dit la formule du binôme ? = ...
Il va de soi que n'a quasiment aucune chance d'être égal à
. Donc calculer
me paraît parfaitement inutile ici !
Bonjour à tous,
Le but est-il vraiment de démontrer que
est un entier naturel pair en utilisant la formule du binôme?
Cela se démontre directement en deux ou trois lignes, sans utiliser cette formule.
Log31 >> Oui cela suffit.
Fradel >> Je suis curieux de voir comment faire sans utiliser le binôme de Newton.
Bonjour _Michel,
Je vais même t'en fournir deux (au diable l'avarice 
)
Une par récurrence, directe.
On montre que si
alors
Les formules obtenues au cours de cette récurrence montre aussi que leur somme est bien un entier naturel pair
Deuxième démonstration, peut-être un peu plus original.
Les deux nombres et
sont les racines d'une équation du second degré
r2 - 4.r + 1 = 0
On considère cette équation comme l'équation caractéristique d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 :
un+2 = 4.un+1 - un
avec u0 = 2 et u1 = 4 (que je calcule directement en utilisant )
Une récurrence immédiate nous montre que un est un entier pair. La positivité peut-être remarquée sur l'écriture même du nombre un
Quant à dire que les démonstrations que je te propose sont plus courtes à écrire que celle que tu as faite ci-dessus, il est certain que non. En revanche, les récurrences étant tellement évidentes qu'on voit le résultat sans les écrire.
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