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formules trigo

Posté par
tny 28-07-09 à 02:32

bonjour ! ,

Auriez vous des exercices qui permettent de manier  les formules trigonométriques pour préparer un peu la sup ? merci !

Posté par
hedgefunderre : formules trigo 28-07-09 à 10:56

salut je peux te proposer celui-ci

exprimer sin(3x) en fonction de sin(x)

exprimer cos(3x) en fonction de cos(x)

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 28-07-09 à 13:55

Bonjour,

Quelques exercices:

1)Montrer que:

\sin\,\frac{\pi}{9}\,\sin\,\frac{2\pi}{9}\,\sin\,\frac{3\pi}{9}\,\sin\,\frac{4\pi}{9}=\frac{3}{16}

\cos\,\frac{\pi}{9}\,\cos\,\frac{2\pi}{9}\,\cos\,\frac{3\pi}{9}\,\cos\,\frac{4\pi}{9}=\frac{1}{16}

2)Montrer que:

\frac{\sin\,7x}{\sin\,x}=1+2\,\cos\,2x+2\,\cos\,4x+2\,\cos\,6x

3)Montrer que:

\cos^2(a+b)+\cos^2(a-b)-\cos\,2a\,\cos\,2b=1

4)Démontrer que si \sin\,(b+c-a), \sin\,(c+a-b), \sin\,(a+b-c) sont en progression arithmétique, il en est de même pour \tan\,a, \tan\,b, \tan\,c.

5)Résoudre le système:

\{x\,\sin\,a+y\,\sin\,2a=\sin\,3a\\x\,\sin\,3a+y\,\sin\,6a=\sin\,9a

6)Simplifier l' expression:

\frac{\sin\,a+\sin\,3a+\cdots+\sin\,(2n-1)a}{\cos\,a+\cos\,3a+\cdots+\cos\,(2n-1)a}

7)Calculer la somme:

S=\sin^4\frac{\pi}{8}+\sin^4\frac{3\pi}{8}+\sin^4\frac{5\pi}{8}+\sin^4\frac{7\pi}{8}

8)Trouver les limites, quand x tend vers \frac{\pi}{4}, de:

a) (1-\sin\,2x)\,\tan\,2x

b) \frac{\cos\,2x}{\cos\,\frac{\pi}{4}-\cos\,x}

9)Trouver les limites, quand x tend vers \pi, de:

a) \frac{1+\cos\,x}{\sin\,x}

b) \tan\,\frac{x}{2}\,\tan\,x

10) En supposant a+b+c=\pi, simplifier les expressions:

a) \frac{\sin\,a+\sin\,b-\sin\,c}{\sin\,a+\sin\,b+\sin\,c}

b) 1+\cos\,a+\cos\,b-\cos\,c

Posté par
tnyre : formules trigo 28-07-09 à 21:54

merci !

Posté par
pppare : formules trigo 28-07-09 à 22:23

Bonsoir à tous

Cailloux,

peux-tu ns donner une piste pr travailler sur \frac{\pi}{9} ? Est-ce qu'il y a une valeur remarquable comme pr \frac{\pi}{3} ou \frac{\pi}{12} par ex?
Sinon est-ce par les nombres complexes et les formules de DeMoivre qu'il faut passer ?
J'ai cherché avec les formules usuelles t.q. sin(-x) = sin x,
sin 2x = 2 sin x cos x , sin \frac{3\pi}{9} on connaît bien
mais je n'aboutis pas ; une petite amorce svp

merci

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 28-07-09 à 23:30

Bonsoir pppa,

En accord avec la demande de tny, pas de complexes: que de la trigonométrie;

Pour le 1), il faut utiliser les formules de trigonométrie permettant de transformer des produits en sommes, à savoir:

\{\sin\,a\,\sin\,b=\frac{1}{2}\left[\cos\,(a-b)-\cos\,(a+b)\right]\\\cos\,a\,\cos\,b=\frac{1}{2}\left[\cos\,(a+b)+\cos\,(a-b)\right]\\\sin\,a\,\cos\,b=\frac{1}{2}\left[\sin\,(a+b)+\sin\,(a-b)\right]

On utilise d' abord la première en regroupant les 4 termes 2 par 2 puis on développe et on recommence en utilisant la seconde dans le développement où apparaissent des produits de cosinus...

Posté par
pppare : formules trigo 29-07-09 à 18:29

Bonjour à tous et merci à Cailloux pr le rappel des formules de transformation de produits en sonmme.

pas facile (ou  + modestement, je ne suis pas très doué, surtt que je n'ai fait que l'exercice 1), mais très intéressant pr les révisions et très formateur, en tt cas je pense que ces formules de transformation je ne les oublierai plus.

Alors pr }{9}" alt="\frac{i}{9}" class="tex" />

Posté par
pppare : formules trigo 29-07-09 à 18:30

message de 18 h 29 posté par erreur excuses

Posté par
pppare : formules trigo 29-07-09 à 18:48

Bonjour à tous et merci à Cailloux pr le rappel des formules de transformation de produits en sonmme.

pas facile (ou  + modestement, je ne suis pas très doué, surtt que je n'ai fait que l'exercice 1), mais très intéressant pr les révisions et très formateur, en tt cas je pense que ces formules de transformation je ne les oublierai plus.


Pr sin /9 . sin 2/9 . sin 3/9 . sin 4/9 J'ai trouvé 3/16. Sans rentrer ds le détail assez fastidieux des calculs, il faut poser au fur et à mesure de l'avancement  : cos(-/9) = cos (/9) (cosinus fonction paire), puis cos(10/9) = cos ( + /9) = cos ( - /9) = cos (8/9).
Après simplifications on aboutit à \frac{1}{4}(\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}cos 2/3)) soit
\frac{1}{4}(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}) = 3/16.

Pr cos /9 . cos 2/9 . cos 3/9 . cos 4/9 J'arrive à  
\frac{1}{4}(\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}cos 2/3) + cos 2/9 + cos 4/9 + cos 8/9) ce qui signifierait que  cos 2/9 + cos 4/9 + cos 8/9 = 0 ce que j'ai vérifié sur ma calculatrice, le reste étant égal à 1/16, mais je n'arrive pas à démontrer ce dernier point !

NB : cos 2/3 = - 1/2

est-ce la bonne façon de faire ?

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 29-07-09 à 20:44

En trigo, il existe toujours une foultitude de méthodes pour arriver au résultat.

Reprenons la tienne:

S=\cos\,\frac{2\pi}{9}+\cos\,\frac{4\pi}{9}+\cos\,\frac{8\pi}{9}

et prouvons que S=0

D' abord un rappel (?) des formules transformant des sommes en produit:

3$\cos\,p+\cos\,q=2\,\cos\,\frac{p+q}{2}\,\cos\,\frac{p-q}{2}\\\cos\,p-\cos\,q=-2\,\sin\,\frac{p+q}{2}\,\sin\,\frac{p-q}{2}\\\sin\,p+\sin\,q=2\,\sin\,\frac{p+q}{2}\,\cos\,\frac{p-q}{2}\\\sin\,p-\sin\,q=2\,\sin\,\frac{p-q}{2}\,\cos\,\frac{p+q}{2}

S=\cos\,\frac{2\pi}{9}+\cos\,\frac{4\pi}{9}-\cos\,\frac{\pi}{9}

Puis en utilisant la première formule pour la somme des deux premiers termes:

S=2\,\cos\,\frac{3\pi}{9}\,\cos\,\frac{\pi}{9}-\cos\,\frac{\pi}{9}

S=0 puisque \cos\,\frac{3\pi}{9}=\cos\,\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}

Posté par
pppare : formules trigo 29-07-09 à 21:52

Bonsoir Cailloux,

merci c'est très clair, effectivement je connaissais ces formules ( enfin elles sont ds mon formulaire et je les ai qqfois utilisées) ; je terminé l'exercice par moi-même grâce à cette piste et c'est bon. Conclusion de cet exercice ; il faut que j'ai le réflexe de penser à ces formules de transformation.

Demain j'attaque les autres exercices.

Bonne soirée, à demain probablement

Posté par
pppare : formules trigo 30-07-09 à 21:17

bonsoir Cailloux,

j'ai essayé de faire le 2 ; j'ai cerché + d'une heure je n'aboutis pas , j'ai essayé d'écrire
sin 7x = sin (6x + x) = sin 6x cos x + sin x cos 6x pr simplifier un peu mais après je bloque ; j'ai cherché ds mon formulaire qui reprend les formules que tu as données mais j'avance pas ; peux tu me donner (encore) une piste stp (les exercices de trigonométrie que je faisais au lycée étaient + faciles !!

Mercipr ton aide

Posté par
leritale3801re:formule trigo 30-07-09 à 23:02

un petit exos pas très compliqué prouve que
4$ cos^6(x)-\frac{1}{32}cos(6x)-\frac{3}{16}cos(4x)-\frac{15}{32}cos(2x)=\frac{5}{16}
bonne réfléxion !!

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 30-07-09 à 23:17

Re bonsoir pppa

Citation :
les exercices de trigonométrie que je faisais au lycée étaient + faciles !!


C' est normal, il s' agit d' exercices que savaient faire les lycéens il y a 40 ans en "Mathélem".

Au reste, je répondais à la question:

Citation :
Auriez vous des exercices qui permettent de manier les formules trigonométriques pour préparer un peu la sup ?


et il est logique que ce soit un peu plus difficile qu' en Terminale...

Pour le 2), sous réserve que x\not=k\pi, cette relation est équivalente à:

\sin\,7x=\sin\,x+2\,\sin\,x\,\cos\,2x+2\,\sin\,x\,\cos\,4x+2\,\sin\,x\,\cos\,6x

qu' il suffit donc de prouver.

Essaie de partir du second membre en utilisant les formules de 23h30 transformant les produits en sommes.

Tu devrais y arriver sans trop de difficultés...

Posté par
pppare : formules trigo 31-07-09 à 00:43

Bonsoir Cailloux

merci pr ton coup de pouce. C'est bon j'ai établi la formule, en fait il fallait juste penser pr démarrer à la rèle des produits en croix  ds une proportion, après quoi les lycéens de 2009  peuvent se débrouiller comme ceux d'il y a 40 ans si on se rappelle des formules de transformation (qu'on a pas utilisé souvent, mais elles sont ds les livres))

et puis pr la difficulté  des exercices je l'accepte c'est la règle du jeu, si c'est trop facile ça ne sert à rien si l'exercice doit préparer aux classes après la terminale

donc j'essaierai les autres et sois ûr qu'avant de (te) demander de l'aide j'aurai cherché

bonne nuit

Posté par
hedgefunderre : formules trigo 31-07-09 à 00:46

c'est sur qu'a coté de ça mon exo est "un petite joueur"
dites moi c'est accessible a une premiere ou il faut voir des formules spaécifiques a la term???

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 00:47

Bonne nuit à toi pppa

et à deamin peut-être...

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 00:56

Bonsoir hedgefunder,

Le problème c' est que les formules de trigo, que ce soit en 1ère ou en Terminale sont vues ou ...ne sont pas vues; cela dépend du prof. Il est est donc difficile de savoir si ces exercices sont accessibles en 1ère ou en Terminale: cela dépend du professeur...

Pour ceux qui vont en prépa, il y a un rappel rapide de ces formules en début d' année.

Voici un formulaire assez complet:

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 00:58

Mince, je me suis trompé de lien:

Posté par
hedgefunderre : formules trigo 31-07-09 à 01:03

merci beaucoup toute fois je crois que je ne vais pas me coller à ces exos car il me paraisse trop compliqués pour le moment....(de plus il y a pas mal de formule que je n'ai pas vu ,dans le formulaire....)merci quand meme

Posté par
pppare : formules trigo 31-07-09 à 10:18

Bonjour Cailloux, Bonjour à tous !

Enfin un exercice que j'ai fait tt seul et en - de 10 min.
Là il suffit de développer connaissant cos(a+b), cos(a-b) et cos 2a = cos²a - sin² a
on aboutit à cos²a(cos²b + sin²b) + sin² a(sin² b + cos ² b) = cos² a + sin² a = 1,

selon ma première formule de trigonométrie du collège qu'on ns faisasit entourer en gras en rouge !

Aie, après c'est des progressions ; je vais voir après...

A + tard

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 10:49

Bonjour pppa,

Très bien...

Posté par
pppare : formules trigo 31-07-09 à 12:19

Rebonjour Cailloux

Merci pr le lien sur le formulaire de M. Costantini ; très pratique tt tient sur une page A4 ; alors 2 questions stp :

1/ est-ce qu'il y a d'autres formules de trigonométrie qui ne sont pas ds ce fotmulaire qui m'a l'air de reprendre tt ce qu'il y a ds mon livre ? (sauf les dérivées et les primitives)

2/ autre chose que j'ai appris en faisant l'exercice
   (cos a cos b) ²  + (sin a sin b) ² ne vaut pas 1 (j'ai trouvé (cos(a-b)²)/2 + (cos(a+b)²)/2 et là c'est (a+b) et (a-b) qui sont élevés au carré, pas le cosinus, enfin si c'est bien ça, je le dis parce qu'une fois je me suis fait piéger); pdt un moment je pensais que j'allais aboutir grâce à cette formule mais ça me paraît évident que c'est pas  1 qd j'utilise les transformations de produits en somme. Si c'est bien ça peux tu le confirmer parce que ça se pourrait que certains fassent l'erreur

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 12:36

Citation :
1/ est-ce qu'il y a d'autres formules de trigonométrie qui ne sont pas ds ce fotmulaire qui m'a l'air de reprendre tt ce qu'il y a ds mon livre ?


Oui, il y en a d' autres, mais pas vraîment indispensables; si tu connais les formules de cette page (hormis les extensions avec les cubes), tu es déjà très bien armé(e) pour affronter pratiquement toutes les situations ... trigonométriques.

Citation :
2/ autre chose que j'ai appris en faisant l'exercice
(cos a cos b) ² + (sin a sin b) ² ne vaut pas 1


ben non...

Citation :
j'ai trouvé (cos(a-b)²)/2 + (cos(a+b)²)/2 et là c'est (a+b) et (a-b) qui sont élevés au carré, pas le cosinus,


Je ne crois pas: ce sont bien les cosinus qui sont élevés au carré...

Posté par
pppare : formules trigo 31-07-09 à 18:55

Bonsoir Cailloux
j'ai un peu abandonné la trigonométrie cet am, l'ai fait le <qcm d'Avedis

J'ai qd même cherché la 4 en posant :

si les 3 sinus sont en progression arithmétique, en étant compris entre -1 et 1, alors

k * /sin[(c+a)-b] = sin[(b+c)-a] + k et
sin[(a+b)-c] = sin[(a+c)-b] + k .

En développant avec les regroupements comme ci-dessus, j'arrive à trouver par différences 2 à 2 que k = 2 sin(a-b)cos c =  2 cos a sin(b-c)

soit sin(a-b)cos c =  cos a sin(b-c)

après pr voir si les tangentes sont en prg arithm je penserai à diviser des sinus par des cosinus mais je ne vois pas comment

Peux tu m'aider stp

merci

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 19:17

Re,

Citation :
soit sin(a-b)cos c = cos a sin(b-c) (1)


Là, tu avais fait les 3/4 du boulot.

Il reste à exprimer:

\tan\,b-\tan\,a=\frac{\sin\,b}{\cos\,b}-\frac{\sin\,a}{\cos\,a}=\cdots (réduction au même dénominateur)

\tan\,c-\tan\,b=\frac{\sin\,c}{\cos\,c}-\frac{\sin\,b}{\cos\,b}=\cdots

Et de constater que si (1) est vérifié, alors ces 2 quantités sont égales...

Posté par
pppare : formules trigo 31-07-09 à 22:14

Bonsoir Cailloux,

merci pr ton aide je crois que j'ai trouvé. En faisant les réductions au même dénominateur j'arrive à
tan b - tan a = sin(b-a)/cos a cos b (2)et
tan c - tan b = sin(c-b)/cos c cos b (3)

je multiplie numérateur et dénominateur de (2) par cos c, et pr (3) par cos a, donc (2) et (3) ont même dénominateur et leur numérateurs sont les opposés de ceux de l'égalité(1) que j'avais trouvée avant, conséquence du fait que les 3 sinus de départ sont en progr arithmétique, donc les numérateurs sont égaux aussi

On peut donc bien dire :
SI les 3 sinus de départ sont en progr arithmétique
ALORS on a tan c - tan b = tan b - tan a et donc tan a, tan b et tan c sont en progr arithmétique

CQFD, non ?

Juste une question ; les tan snt en prgr arithmétique, je pense l'avoir prouvé, mais pas de même raison k que celle que j'ai prise pr les 3 sinus de départ ; je ne pense pas , ou...

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 22:19

Bonsoir pppa

Toutafé et effectivement les raisons ne sont pas les mêmes. Il n' y a d' ailleurs aucune raison pour qu' elles soient égales...

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 31-07-09 à 22:44

Je reviens sur ceci:

Citation :
1/ est-ce qu'il y a d'autres formules de trigonométrie qui ne sont pas ds ce fotmulaire


Eh bien par exemple, tu en as trouvé une à 22h14:

\tan\,a-\tan\,b=\frac{\sin\,(a-b)}{\cos\,a\,\cos\,b}

et en voici une seconde en changeant b en -b:

\tan\,a+\tan\,b=\frac{\sin\,(a+b)}{\cos\,a\,\cos\,b}



Posté par
pppare : formules trigo 01-08-09 à 10:20

Bonjour Cailloux

Merci pr la remarque qui permet de compléter le formulaire, même s'il n'y a pas bcp de place (je veux garder une seule même feuille A4 c'est pratique)

Petite paranthèse : je me rappelle du prof de maths qui disait : à partir du théorème de Pythagore et du cercle trigonométrique qui définit sin et cos, vous pouvez retrouver ttes les formules, pas besoin de les apprendre par coeur. Ouais, sauf que vu le temps que je mets pr les retrouver, pr les jours d'examen ou peut être de concours il vaut mieux en connaître qq unes par coeur (et je suis sûr que lui il les savait par coeur, il aimait particulièrement la trigonométrie)

Alors pr en revenir aux exercices ; pr le 5 j'ai avancé en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues avec les déterminants ; je ne sais pas si c'est la bonne méthode, en tt cas j'arrive à des différences de produit de sinus pr x et y au numérateur et au dénominateur que j'ai transformées en sommes de cosinus mais je pense que il faut simplifier et là je bloque.

Voilà où j'en suis :

x = (cos 3a - cos 9a - cos 7a + cos 11a)/(2 cos 5a - cos 7a - cos a )

y = (cos 8a - cos 10a - 1 + cos 6a)/(2 cos 5a - cos 7a - cos a )


comment poursuivre ? Merci encore pr ton aide ; à + tard

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 01-08-09 à 11:23

Bonjour pppa,

Les déterminants: pourquoi pas?

Mais justement, ton système aura une solution unique si son déterminant est non nul;

Il faut discuter suivant les valeurs de a

je pense qu' il vaut mieux commencer par résoudre l' équation:

\sin\,a\,\sin\,6a-\sin\,3a\,\sin\,2a=0

Il y a 2 avantages: on peut examiner tous les cas où ce déterminant est nul et surtout, pour résoudre cette équation, il faut transformer l' écriture de ce déterminant (en un produit de facteurs "simples"), écriture qui sera utile pour le calcul les solutions dans le cas général.

Posté par
pppare : formules trigo 01-08-09 à 18:58

Bonsoir Cailloux,

j'ai cherché mais je n'avance pas sur la transformation du déterminant en un produit de facteurs.

La seule piste que j'ai trouvée c'est
sin 2a sin 3a = sin a sin 6a
sin 2a/ sin a = sin 6a/sin 3a (1)je pose 3a = b donc
sin 2a/ sin a = sin 2b/sin b
égalité qui se vérifie si a = b, soit a = 3a soit a  = 0
mais pr écrire (1) il faut que a k (k ) et
3a k soit a k/3
(k )
ce qui veut dire que pr ces valeurs le système ne serait pas défini ?

Je tourne en rond ; peux-tu me sortir de ce cercle stp; merci d'avance

Bonne soirée

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 01-08-09 à 23:00

Re bonsoir pppa,

D' abord une petite précision:

J' ai recopié ces exercices dans des Maillart et Millet de 1952. Je parlais plus haut des lycéens d' il y a 40 ans; il serait plus exact de parler de lycéens d' il y a 55 ans

Bien entendu, je n' ai pas les solutions de ces exercices; j' ai à peu près un demi exercice d' avance sur toi...

Donc pour le 5):

Appelons ce déterminant D:

D=\sin\,a\,\sin\,6a-\sin\,3a\,\sin\,2a

D=2\,\sin\,a\,\sin\,3a\,\cos\,3a-2\,\sin\,3a\,\sin\,a\,\cos\,a

D=2\,\sin\,a\,\sin\,3a(\cos\,3a-\cos\,a)

D=-4\sin^2a\,\sin\,2a\,\sin\,3a

Si bien que D=0\Longleftrightarrow\{a=k\pi\\a=k'\frac{\pi}{2}\\a=k''\frac{\pi}{3}

Bref, il faut déjà examiner 6 cas qui se regroupent en 4 cas:

1) a=k\pi --> tout couple (x,y) est solution.

2) a=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi --> Les couples (-1,y) sont solution.

3) a=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi --> Les couples (x,-x) sont solution.

4) a=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi --> Les couples (x,x) sont solution.

Reste le cas général où a est différent des valeurs précédentes (c' est à dire où le déterminant est non nul):

Si on veut avoir un résultat "simple", les calculs sont longs et compliqués...

Je te donne ce que j' ai obtenu mais ne me demande pas comment:

\{x=-16\,\cos^4a+12\,\cos^2a-1\\y=4\,\cos\,a\,\cos\,2a

Tu peux revoir cet exercice à la lumière de ce que que j' ai posté, mais n' insiste pas trop...

Le suivant est plus intéressant...

Posté par
pppare : formules trigo 01-08-09 à 23:23

Bonsoir Cailloux

déjà grand merci de me répondre un samedi soir à 23 h 00.

C'est vrai que c'est pas facile ; tu sais quoi, je vais essayer de retrouver le déterminant, la décomposition en facteurs simples, comprendre les 4 cas (ça ça devrait aller)et puis tester ta solution et je m'en tiendrai là et tte façon Demain


"Si on veut avoir un résultat "simple", les calculs sont longs et compliqués..."
   mdr


""J' ai recopié ces exercices dans des Maillart et Millet de 1952""

Mais cet exercice est un COLLECTOR
  re Mdr

Je plaisante, je trouve  très intéressant très formateur de décortiquer la trigo comme ça.
D'ailleurs ça me fait penser j'ai un exercice de géométrie d'un livre plus récent que le tien mais déjà hors programme en tt cas en partie, ça m'énerve j'arrive juste à faire la figure mais je ne sais même pas répondre à la 1ère question ; la géométrie j'aime bien ça. Si tu es d'accord qd on aura fini ces exercices je le posterai tu me dira (ou d'autres aussi evtl) ce que tu en penses ( c'est ds la chapitre produit scalire et applications dt puissance d'un point par rapport à un cercle, mais qd tu lis , je veux dire  qd JE lis l'exercice, j'ai du mal à voir le rapport avec le cours)

Je te souhaite bonne soirée, à demain probablament


Ciao et merci pr ce que tu fais

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 01-08-09 à 23:42

La géométrie (élémentaire), c' est un peu mon dada...

Bref, n' hésite pas à poster; si personne n' a répondu, je serai ta roue de secours...

A demain peut-être...

Posté par
Verkre : formules trigo 02-08-09 à 00:59

Bonjour tout le monde!

Il me semble ne pas avoir vu la réponse à la 1ere question du premier exo : "exprimer sin(3x) en fonction de sin(x)" c'est pourquoi je propose ma réponse afin que vous me disiez si elle est juste ou non.

sin(3x) = sin(2x+x)= sin(2x)cos(x) + sin(x)cos(2x)
= 2sin(x)cos(x)cos(x) + sin(x)[cos²(x)-sin²(x)]
=2sin(x)(1-sin²(x)] + sin(x)[1-2sin²(x)]
=2sin(x) - 2sin3(x) + sinx - 2sin3(x) = 3sin(x)

Voilà, j'ai fait ça assez vite fait donc il est fort possible que ce soit faux.

Posté par
Verkre : formules trigo 02-08-09 à 01:03

Oups je viens déjà de voir une erreur. La dernière ligne n'est pas 3sin(x) mais 3sin(x) -4sin3(x) du coup je pense pas que se soit très intéressant... :s

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 02-08-09 à 09:51

Bnjour,

Oui, \sin\,3x=3\,\sin\,x-4\sin^3x

Posté par
pppare : formules trigo 02-08-09 à 18:23

Bonsoir Cailloux

j'ai pas bcp avancé aujourd hui mais chq jour sa dose de trigonométrie (et puis je n'ai pas fait que des maths..).

Alors pr le 5 ; il est en effet difficiel ; le déterminant je l'ai reteouvé sans pb en posant 6a = 2 x 3a
Après je ne comprends pas bien ton écriture qui donne l'équivalence D = 0, en tt cas c'est aps celle qu'on m'a apprise ; dis-moi stp seulement si celle-ci est juste (ce que j'aurais écrit) :
D = 0 a =0 + k, k
                        ou a = /2 + k/2, k
                        ou a = /3 + k/3, k


Après pr a = k, tt couple (x;y) est solution OK,
mais pr les autres cas c'est + dur ; peux-tu stp m'en expliquer un des 3 un peu + en détail ; si je comprends je derai les  2 autres, sinon je m'en tiendrai là parce que tester la solution qd D 0, j'abandonne, trop dur!

Pr le 6 j'ai regroupé au numérateur et au dénominateur les termes 2 à 2 (en supposant qu'ils soient en nombre pair) et je fais des transformations de sommes en produit comme tu m'as rappelé que ça existait qqs exercices avant. J'arrive à simplifier par 2 cos a mais parès je me retrouve avec
\frac{sin 2a + sin 6 a + ...+ sin 2(n-1)a}{cos 2a + cos 6 a + ...+ cos 2(n-1)a}
donc c'est pas vraiment simplifié, et puis que se passe-t-il qd les termes sont en nombre impair ?? :?

Merci par avance de me dire ce que tu en penses

A + tard
  

Posté par
Verkre : formules trigo 02-08-09 à 23:22

Merci cailloux pour la confirmation

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 03-08-09 à 01:36

Bonsoir pppa,

D=0\Longleftrightarrow \{sin\,a=0\\\text{ou}\\\sin\,2a=0\\\text{ou}\\\sin\,3a=0

c' est à dire a=k\pi ou 2a=k'\pi ou 3a=k''\pi

ou encore: a=k\pi ou a=k'\frac{\pi}{2} ou a=k''\frac{\pi}{3}

qui correspondent à ces valeurs sur le cercle trigonométrique:

formules trigo

1) Si a=k\pi:

Notre système devient: \{0x+0y=0\\0x+0y=0

et tout couple (x,y) est solution; tu l' as bien vu.

2) Si a=\frac{\pi}{2}+2k\pi:

Notre système devient: \{x=-1\\-x=1

et tout couple (-1,y) est solution.

3) Si a=-\frac{\pi}{2}+2k\pi:

Notre système devient: \{-x=1\\x=-1

et tout couple (-1,y) est solution.

4) Si x=\frac{\pi}{3}+2k\pi:

Notre système devient: \{x\frac{\sqrt{3}}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\0x+0y=0

C' est à dire x+y=0

Et tout couple (x,-x) est solution.

5) Si x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi:

Notre système devient: \{-x\frac{\sqrt{3}}{2}-y\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\0x+0y=0

C' est à dire x+y=0

Et tout couple (x,-x) est solution.

6) Si x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

Notre système devient: \{x\frac{\sqrt{3}}{2}-y\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\0x+0y=0

C' est à dire x-y=0

Et tout couple (x,x) est solution.


7) Si x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi

Notre système devient: \{-x\frac{\sqrt{3}}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\0x+0y=0

C' est à dire x-y=0

Et tout couple (x,x) est solution.

Ces 7 cas peuvent se regrouper en 4 cas:

Si a=k\pi, tout couple (x,y) est solution.

Si a=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi, tout couple (-1,y) est solution.

Si a=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, tout couple (x,-x) est solution.

Si a=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi, tout couple (x,x) est solution.

Voilà réglés les cas particuliers...

Citation :
Pr le 6 j'ai regroupé au numérateur et au dénominateur les termes 2 à 2 (en supposant qu'ils soient en nombre pair) et je fais des transformations de sommes en produit


C' est bien vu et il faudra distinguer les cas n pair et n impair.

Pour y voir plus clair, je te suggère d' examiner ce qui se passe pour des petites valeurs de n:

A_n=\frac{\sin\,a+\sin\,3a+\cdots +\sin\,(2n-1)a}{\cos\,a+\cos\,3a+\cdots +\cos\,(2n-1)a}

A_1=\frac{\sin\,a}{\cos\,a}=\tan\,a

A_2=\frac{\sin\,a+\sin\,3a}{\cos\,a+\cos\,3a}

A_2=\frac{2\,\sin\,2a\,\cos\,a}{2\,\cos\,2a\,\cos\,a}=\tan\,2a tiens!

A_3=\frac{\sin\,a+\sin\,3a+\sin\,5a}{\cos\,a+\cos\,3a+\cos\,5a}

On regroupe les termes extrèmes au numérateur et au dénominateur:

A_3=\frac{2\,\sin\,3a\,\cos\,2a+\sin\,3a}{2\,\cos\,3a\,\cos\,2a+\cos\,3a}

A_3=\frac{\sin\,3a\,(2\,\cos\,2a+1)}{\cos\,3a\,(2\,\cos\,2a+1)}=\frac{\sin\,3a}{\cos\,3a}

A_3=\tan\,3a oh!

On voit la conjecture se profiler...

Maintenant, il faut essayer de généraliser en distinguant les cas n pair (pas de terme central au numérateur et au dénominateur) et n impair (un terme central au numérateur et au dénominateur).

Dans les deux cas, il faut regrouper les termes 2 par 2 en partant des extrèmes...

2 remarques:

1) A ce stade, une récurrence est une fausse bonne idée: l' hérédité ne se passe pas bien.

2) Cet exercice se fait relativement facilement avec les complexes mais ici, ce n' est pas le but: on fait de la trigo...

Sur ce, bonne nuit...

Posté par
pppare : formules trigo 03-08-09 à 22:32

Bonsoir Cailloux
Pensais tu que
- j'allais te laisser tranquille une journée
- que j'avais abandonné

NON

Alors d'abord un grand merci pr le corrigé détaillé du 5 ( pr le acas ou le déterminant est nul) et pr les aides sur le 6

Je dis grand merci mais en fait je ne sais pas comment remercier qqn qui donne autant de son temps pr faire avancer le savoir mathématique des autres : RESPECT

quand je dis que je comprends pas ton écriture des valeurs qui annulent le déterminant, ce sont les petits ' ou " que tu mets et je voulais juste savoir si ce que j'ai écrit comme on m'a appris était juste ds l'exercice qu'on fait ici.

Avec le cercle en schéma il semble que ouiet ce schéma c'est très bien comme ça on sait combien de cas on a à traiter.

j'ai vu comment tu as traité le cas 2 et après je les ai tous retrouvés tt seul ; je me suis dit que tu avais passé bcp de temps + qu'il m'en fallait mais après tt ça peut intéresser d'autres personnes que moi qui ont p e besoin de + de détails.
Et puis ce COLLECTOR va être conservé ds la base de recherches de l'île. Ca poura rendre service.

Après j'ai traité le 6 en regroupant 2 à 2 non plus consécutifs mais par élimination successives des extrêmes.

Alors pr n pair j'arrive à

\frac{2 sin na [cos(n-1)a + cos(n-3)a + .... + cos a]}{2 cos na [cos(n-1)a + cos(n-3)a + .... + cos a]}  soit après simplifications tan na

et pr n impair j'arrive à

\frac{sin na [2cos(n-1)a + 2cos(n-3)a + .... + 2cos (n-(n-2))a+ 1]}{cos na [2cos(n-1)a + 2cos(n-3)a + .... + 2cos (n-(n-2))a+ 1]}
le + 1 final étant en fait  + cos(n-n)a
soit après simplifications tan na aussi

Donc tu avais bien entendu parfaitement raison
1/ "on voit la conjecture se profiler"
2/ ici  "une récurrence est une fausse bonne idée"

J'ai traité le 7 et ça m'a paru très simple (parce que après avoir fait le 6 , forcément les formules de transformation de sommes en produit on les connaît par coeur
Là j'ai regroupé les termes 2 à 2 et j'arrive à
2 sin cos \frac{pi}{2} + 2 sin 3 cos \frac{pi}{2} soit des 0 partt donc S = 0

On approche de la fin mais aie des limites en trigonométrie ; là c'est subtil je vais sûrement avoir besoin de ton aide mais avant je cherche.... Demain

Bonne soirée Cailloux (amis si tu as le temps dis moi qd même si ce que j'ai fait est bon, merciiiii)

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 03-08-09 à 23:18

Bonsoir pppa,

Citation :
Pensais tu que
- que j'avais abandonné


Jamais de la vie! Je n' en attendais pas moins de toi...

Citation :
quand je dis que je comprends pas ton écriture des valeurs qui annulent le déterminant, ce sont les petits ' ou " que tu mets et je voulais juste savoir si ce que j'ai écrit comme on m'a appris était juste ds l'exercice qu'on fait ici.


Tu écris par exemple:

a=\frac{\pi}{2}+k\frac{\pi}{2} avec k\in\mathbb{Z}

Ce n' est pas faux, mais on peut contracter l' écriture:

a=(k+1)\frac{\pi}{2}

En posant k+1=k' (et donc k'\in\mathbb{Z}):

a=k'\frac{\pi}{2} et on est d' accord...

Pour le 6), c' est parfait! tu as tout compris

Pour le 7), je suis désolé mais l' écriture en \LaTeX n' a pas bien marché; je m' en étais rendu compte et pensais rectifier mais j' ai oublié en cours de route

Les "4" sont des puissances; voilà l' énoncé écrit correctement:

7) S=\sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{5\pi}{8}\right)+\sin^4\left(\frac{7\pi}{8}\right)

C' est un peu moins facile... Par contre, je ne l' ai pas encore fait, il faut que je regarde...

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 03-08-09 à 23:38

Finalement, ce n' est pas trop difficile; il suffit d' utiliser la bonne formule: 3 lignes...

Posté par
pppare : formules trigo 03-08-09 à 23:39

Ah mais je me disais aussi que fait un exercice aussi facile (le 7) au milieu d'exercices difficiles ?
Boooooooonnnnnn ; on verra demain

Buena note ! et encore merci pr tt

Posté par
pppare : formules trigo 03-08-09 à 23:41

Re ton message de 23 h 38 : c'est encourageant même si je ne m'appelle pas Cailloux...
J'aurais bien dormi qd même

Posté par
cailloux Correcteurre : formules trigo 03-08-09 à 23:44

Bonne nuit (sans cauchemards trigonométriques) et à demain...

Posté par
dhiabre : formules trigo 04-08-09 à 09:34

BONJOUR VOICI UNE SOLUTION SUR LES LIMITES

formules trigo

Posté par
centdricre : formules trigo 04-08-09 à 12:28

svp j'ai du mal à lire

Posté par
pppare : formules trigo 04-08-09 à 12:46

Bonjour Cailloux, bonjour à tous
Pr la 7 :
je pense avoir trouvé mais il m'a fallu un peu + que 3 lignes.
on sait que  sin (-x) = sin x et sin (\frac{pi}{2}-x) = cos x
Alors je pose :
sin (\frac{7 pi}{8}) = sin (-\frac{pi}{8}) = sin (\frac{pi}{8})
de même
sin (\frac{5 pi}{8}) = sin (-\frac{3 pi}{8}) = sin (\frac{3 pi}{8})
et sin (\frac{3 pi}{8}) = sin (\frac{pi}{2}-\frac{pi}{8}) = cos \frac{pi}{8}
je te passe les développements intermédiaires, j'arrive à
2(sin4\frac{pi}{8} + cos4\frac{pi}{8}) ( 4 est exposant!)

et sachant que (linéarisation)
cos²x = (1+cos 2x)/2 st sin² x = (1 - cos 2x)/2 avec x = \frac{pi}{8}
en développant et simplifiant j'arrive à  1 + cos²\frac{pi}{4} = 3/2

Pr la 8:

promis je n'ai pas (encore)regardé les solutions de Dihab (en plus on lit très mal mais bon on lui  dit merci qd même)

alors la 8-1
je pose f(x) = (1 - sin 2x) tan x = (1 - sin 2x)(sin x/cos x)
et comme pr \frac{pi}{4} sin x = cos x on cherche
\lim_{x\to \frac{pi}{4} (1 - sin 2x) = 1 - 1 = 0

pr la 8-2 je tourne en rond peux tu stp me donner une piste

Merci

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