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Fraction continue et algo des réduites
Bonjour!
Eleve de terminale spécialité mathématiques, j'ai besoin, dans le cadre de mon grand oral, d'approximer : 3^n/2^m=1
(l'équation n'ayant pas de solution réelle puisqu'un entier impair divisé par un entier pair ne donne jamais 1)
Après quelques équivalences, j'obtiens : m/n = ln3/ln2, ce qui est environ égal à 1,585.
Pour donner une bonne approximation de ce nombre irrationnel avec des nombres rationnels, je pensais utiliser les fractions continues. Le développement est infini, mais je m'arrete au bout de 6 étapes, comme dans l'image attachée.
J'utilise alors l'algorithme du calcul des réduites à l'aide des formules classiques : 𝑝𝑛 = 𝑎𝑛.𝑝𝑛−1 + 𝑝𝑛−2 et 𝑞𝑛 = 𝑎𝑛.𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛−2, avec, dans chaque cas, 𝑎 la partie entière de chaque étape de la décomposition en fraction continue.
Ainsi p = 3, 8, 19, 65, 84, etc. et q = 2, 5, 12, 41, 53, etc.
Là est mon problème. Je crois comprendre que p et q sont les valeurs de m et n, car p/q ~= 1.5 dans chaque cas. Lorsque je cherche des énoncés du meme type, il en est déduit que toutes les réduites 2^q/3^p sont solutions, c'est-à-dire de bonnes approximations de 3^m/2^n=1...
Je ne comprends pas comment passer de l'approximation de p/q à la solution... Auriez-vous une idée?
Merci d'avance!
salut
honnêtement je ne comprends pas grand chose à ce que tu veux faire et à ce que tu dis ...
tu cherches des entiers m et n tels que 3^n/2^n = 1 <=> m/n = ln 3 / ln 2 ou du moins soit proche de 1 ... mais à combien ?
parce que ce qui me semble intéressant c'est de connaitre l'erreur ou du moins en donner un ordre de grandeur ...
J'utilise alors l'algorithme du calcul des réduites à l'aide des formules classiques : 𝑝𝑛 = 𝑎𝑛.𝑝𝑛−1 + 𝑝𝑛−2 et 𝑞𝑛 = 𝑎𝑛.𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛−2, avec, dans chaque cas, 𝑎 la partie entière de chaque étape de la décomposition en fraction continue.
Là est mon problème. Je crois comprendre que p et q sont les valeurs de m et n, car p/q ~= 1.5 dans chaque cas. Lorsque je cherche des énoncés du meme type, il en est déduit que toutes les réduites 2^q/3^p sont solutions, c'est-à-dire de bonnes approximations de 3^m/2^n=1... ben il suffit de bien identifier les variables pour savoir à quoi elles correspondent avec tes notations
Je ne comprends pas comment passer de l'approximation de p/q à la solution... Auriez-vous une idée? il n'y a pas de solution (hormi m = n = 0 bien sûr)
oui j'ai bien cherché des approximations de ln3/ln2. Mon objectif était de trouver les plus proches possibles, sous forme de fraction, car ce nombre comporte une infinité de décimales.
Je trouve les fractions suivantes :
p/q = 3/2 ; 8/5 ; 19/12 ; 65/41 ; 84/53... de plus en plus proches de la valeur vraie de ln3/ln2...
Sur le web, il est dit que cela signifie que les réduites (2^p/3^q) sont proches de 1. En effet : 2³/3² ≈ 0,889, 2⁸/3⁵ ≈ 1,053, etc.
Donc les fractions du type 2^p/3^q seraient les meilleures approxmations possibles de 3^n/2^m, tel que cette expression soit égale à 1... Mais comment trouver 2^p/3^q?
ben alors je ne vois pas où est le pb puisque le principe des fractions continues c'est justement d'approcher un nombre par une suite de fractions (d'un format particulier).
tu peux poursuivre théoriquement jusqu'à l'infini mais en pratique tu vas être limiter par les capacité de ton ordinateur qui arrondit à partir d'un certain moment.
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