Niveau Licence Maths 1e ann

fraction rationnelle

Posté par
rostand 31-01-09 à 03:28

bonjour.

Decomposer la fraction rationnelle

1/X²(X-1)ⁿ

(on pourra poser Y=X-1 )

j'applique la formule mais après je peux plus rien faire.Et je ne crois qu'on me demande juste la structure de la decomposition.

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 10:24

Sauf erreur je trouve : $5$\blue\fbox{\forall n\ge1\;,\;\frac{1}{X^2(X-1)^n}\;=\;\frac{n(-1)^n}{X}+\frac{(-1)^n}{X^2}+\Bigsum_{k=1}^n\frac{(n-k+1)(-1)^{n-k}}{(X-1)^k}}$

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 11:56

bonjour
merci.j'aimerais savoir comment vous avez fais s'il vous plait

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 14:40

Je note pour $n\ge1$ , $3$\blue\fbox{F_n(X)=\frac{1}{X^2(X-1)^n}}$ $\;\;$ (on vérifie facilement que $F_1(X)=-\frac{1}{X}-\frac{1}{X^2}+\frac{1}{(X-1)}$ )

c'est une fraction rationnelle de $\mathbb{R}(X)$ de degré $-(n+2)<0$ sa partie entière est donc nulle et son $DES$ , pour $n\ge1$ , s'écrit :

$4$\red\fbox{F_n(X)=\frac{a_n}{X}+\frac{b_n}{X^2}+\Bigsum_{k=1}^n\frac{c_{k,n}}{(X-1)^k}}$ ce qui donne $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;F_{n-1}(X)=(X-1)F_n(X)=a_n+c_{1,n}+\frac{b_n-a_n}{X}-\frac{b_n}{X^2}+\Bigsum_{k=2}^n\frac{c_{k,n}}{(X-1)^{k-1}}}$

ou encore $4$\fbox{\forall n\ge2\;,\;F_{n-1}(X)=a_n+c_{1,n}+\frac{b_n-a_n}{X}-\frac{b_n}{X^2}+\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{c_{k+1,n}}{(X-1)^k}=\frac{a_{n-1}}{X}+\frac{b_{n-1}}{X^2}+\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{c_{k,n-1}}{(X-1)^k}}$

et par unicité du $DES$ on a les relations :
$4$\fbox{\forall n\ge1\;\;,\;\;\fbox{a_n+c_{1,n}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(i)\\a_{n-1}=b_n-a_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(ii)\\b_{n-1}=-b_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(iii)\\c_{k+1,n}=c_{k,n-1}\;,\;k=1..n-1\;\;\;\;(iv)}}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 15:54

merci,j'ai lu attentivement votre dernier post.Mais j'arrive pas à voir le rapport avec le resultat

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 20:01

$3$OK\;!$

$\fbox{*}$ On a , en utilisant $(iii)$ , $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;b_n=-b_{n-1}\\\;\;\;\;\;\;b_1=-1}$ donc $3$\blue\fbox{\forall n\ge1\;,\;b_n=(-1)^n}$

$\fbox{*}$ On a , en utilisant $(ii)$ , $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;a_n+a_{n-1}=(-1)^n\\\;\;\;\;\;\;\;a_1=-1}$ donc $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;(-1)^na_n-(-1)^{n-1}a_{n-1}=1\\\;\;\;\;\;\;\;a_1=-1}$

donc $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;\Bigsum_{k=2}^n(-1)^ka_k-(-1)^{k-1}a_{k-1}=\Bigsum_{k=2}^n1\\\;\;\;\;\;\;\;a_1=-1}$ donc $3$\fbox{\forall n\ge2\;,\;(-1)^na_n+a_1=n-1\\\;\;\;\;\;\;\;a_1=-1}$ donc $3$\blue\fbox{\forall n\ge1\;,\;a_n=n(-1)^n}$

$\fbox{*}$ On a , en utilisant $(i)$ et $(iv)$ , $3$\fbox{\forall n\ge2\;\forall k=1...n-1\;,\;c_{k+1,n}=c_{k,n-1}=c_{k-1,n-2}=...=c_{1,n-k}=-a_{n-k}}$

d'où $3$\blue\fbox{\forall n\ge2\;\forall k=1...n\;,\;c_{k,n}=-a_{n-k+1}=(n-k+1)(-1)^{n-k}}$ _{sauf erreur bien entendu}

Posté par re : fraction rationnelle 31-01-09 à 20:48

merci.c'est trop fort sa.
sinon j'ai compris le raisonnement et moi aussi je ne vois pas de contradictionn

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