Bonjour lucile,

Pour calculer la distance entre deux droites , on peut le faire de deux façons différentes :

1) Si D passe par A de vecteur directeur , si D' passe par B de vecteur avec et non colinéaires alors :



2) En utilisant la perpendiculaire commune à deux droites D et D'

Si D et D' sont deux droites non parallèles, alors il existe une unique droite orthogonale et sécante avec chacune des droites D et D' : cette droite est appelée perpendiculaire commune à D et D'.

Si on note un vecteur directeur de , alors on montre que, pour tous points M et M' de D et D', on a :

erreur au 1) dsl :

le plus commode ici c'est d'utiliser le 1), tu peux t'amuser aussi à redémontrer les résultats rappelés

Oui, merci, y'a une partie que j'ai pas faite c'est pour sa, désolé, je reprend:

D1 et D2 2 droites non parallèles, passant par A1 et A2, dirigées par u1 et u2(vecteur), et leur perpendiculaire commune; on note respectivement H1 et H2 les intersections de avec D1 et D2.

a) En décomposant vecteur(M1M2) à l'aide de la relation de chasles et en utilisant l'orthogonalité des vecteurs, prouver que: M1D1 , M2D2, M1M2H1H2 et il y a égalité ssi M1=H1 et M2=H2.

La distance H1H2 est appelée distance des droites D1 et D2. On note P, le plan (A1,u1,u2)

b) Démontrer que H1H2 = d(H2,P) = valeur absolue de [u1,u2,A1A2]/ u1u2

c)D1:{x-y-z-2 = 0 ; 3x+y-2z+4 =0}  D2:{x-2y+z = 0; x+2y+z+4 = 0}
calculer la distance entre les 2 droites.

je pensait que la c) est indépendante du reste et j'avais peur d'effrayer la personne qui m'aide avec une demi page d'énoncé.

Déjà, la a) je ne sait pas comment m'y prendre.

pour le a) tu utilises bêtement la relation de Chasles en utilisant les points H₁ et H₂



Tu calcules ensuite en utilisant linéarité du produit scalaire et tu vas remarquer que des quantités s'en vont grâce aux hypothèses.. par suite la minoration cherchée devient vachement simple .

merci,
J'obtient un carré scalaire alors?
Je fait: [vecteur(M1H1+H1H2+H2M2)].[vecteur(M1H1+H1H2+H2M2)]
= [vecteur(M1H1+H1H2+H2M2)]²
or: [vect(A+B+C)]² = A²BC + AB²C + ABC²
est ce que c'est bon?

Non!je ne comprends pas ce que tu fais, il suffit de développer tout simplement à part que là t'as des vecteurs!


                  
             =

Or, et car la droite est perpendiculaire à et

donc :

                     =

d'où : puisque

ok, Merci, au fait comment vous savez qu'il faut calculer M1M2²? c'est une méthode?

D'autre part, je ne comprend pas la dernière ligne, merci. Je suis d'accord que le carrée est 0 mais pourquoi sa induit M1M2H1H2 ?

et pour la question d'aprés: prouver que:  M1M2 = H1H2 ssi M1=H1 et M2=H2.
Sa me semble logique, est ce qu'il y a une façon de le prouver?, donner moi une piste et j'essaye de trouver, merci

Oui c'est toujours mieux de prendre le carré sinon on se traine la racine carrée du produit scalaire.

Alors concernant la deuxieme comme le carré que j'ai précisé est supérieur à 0 on en déduit que d'où le résultat puisqu'on a affaire à des distances donc en enlevant les carrés c'est la même inégalité

ok, j'ai compris.

Double implication ?

Si et alors c'est évident d'après le calcul fait de

Réciproquement, supposons que alors l'égalité est aussi vraie en mettant ces quantités au carré. D'après le calcul que j'ai fais en fin de ligne pour la précédente question on a alors forcément : ... Que se passe t-il en enlevant les normes? je te laisse faire la suite

Que représente les vecteurs et ? On sait des choses aussi sur les droites et , qui servira à conclure

M1H1 est le vecteur directeur de D1 et M2H2 est le vecteur directeur de D2.
D1 et D2 ne sont pas parallèles.

Mais on a pas besoins de passer par là, si M1=H1 et si M2=H2, en remplaçant dans la norme, la norme vaut 0 et donc M1M2 = H1H2.

Oui la première implication y a besoin de rien pour affirmer ça c'est totalement évident!

Pur la deuxieme c'est plus délicat! Alors oui on utilise le fait que ce soit des vecteurs directeurs et que les droites ne soient pas parallèles :

entraîne M1H1 confondu à M2H2

NOn! que peut-on dire de par rapport à ?

quelle relation a t-on entre les deux?

colinéaire, de sens opposé et de même valeur

non, pas obligatoirement collinéaire vu que c'est des vecteurs

c'est quoi l'égalité? quand dit-on que deux vecteurs sont colinéaires?

2 vecteurs sont colinéaire si il existe un coefficient de proportionnalité k entre les 2.

Oui ici c'est le cas l'un est égal à moins l'autre, donc ils sont colinéaires ! Mais par hypothèse comment sont ces vecteurs? que peut-on alors conclure?

je ne voit vraiment pas...
(ces 2 vecteurs sont sécants)

On a montré que les vecteurs sont colinéaires

Or les droites ne sont pas parallèles, donc les vecteurs sont pas colinéaires!
Donc ils sont égaux au vecteur nul et hop le résultat..   

et bein!! j'y ai pas pensé.

d'où l'importance de ne jamais perdre de vue les hypothèses de départ

Merci, comment je fait pour la question b) svp?

b) Démontrer que H1H2 = d(H2,P) = valeur absolue de [u1,u2,A1A2]/ u1u2

H1H2 = d(H2,P)

Par construction, H1 est le projeté orthogonal de H2 sur la droite D1
Or la droite D1 est contenue dans le plan P car la droite passe par au moins deux points du plan.
Donc H1 est le projeté orthogonal de H2 sur le plan P
d'où :   H1H2 = d(H2,P)

1)Quel est la formule donnant la distance d'un point à un plan? Ecrire cela proprement
2) Trouver un vecteur normal au plan

comment vous fêtes pour ecrire proprement les vecteurs avec des flèches, des valeurs absolues??
je ne trouve pas cela sur le site

une idée ici : http://www.math-linux.com/forum/viewtopic.php?id=1

en n'oubliant pas de mettre entre

1) Soit P un plan et M un point de l'espace.
Si P est défini par A et une base \vec{u1,u2}, alors :
D(M,p) = |\vec{u1,u2,AM}| / ||\vec{u1u2||

2) vecteur normal au plan = vecteur perpendiculaire à une droite du plan.

J'ai pas reussiiiii......, aidez moi (par contre j'ai reussi la valeur absolue)

bon ben tu as le résultat là tout simplement

ok, merci beaucoup,
ensuite pour la question c) j'utilise la 1ère méthode, mais je n'ai pas les coordonnées des points.

ici l'équation de ta droite, c'est un système d'équations cartésiennes ie où chaque équation représente l'équation de deux plans qui sont sécants. Ici c'est  plans ne sont pas parallèles donc pas de soucis, car l'un ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de l'autre, ce qui affirme bien qu'on a affaire à des vraies droites.

Ensuite tu sais que de ce système d'équations cartésiennes tu peux trouver un système d'équations paramétriques de la droite et ainsi trouver un point et un vecteur pour chacune des droites ! Voir cours, tu devrais savoir faire normalement, c'est du niveau terminale pour passer de cartésienne à paramétrique .

Je te montre, allez c'est parti avanti!

Pour l'équation de (D1)


                                 
                                 
                                 
                              

Bon après on peut trouver bien d'autres équations paramétriques, mais bon voila au moins je t'en ai montré une, et donc là D1 passe par le point A(-8,0,-10) et de vecteur directeur

pour (D2): z=-x+2y
           x+2y+(-x+2y)+4 = 0

équivaut à:
           z=-x+2y
           4y+4=0

équivaut à:
           z=-x-2
           y = -1

équivaut à:
           x = t
           y = -1
           z = -t - 2

On a B(0;-1;-2) et v(1;0;-1)

C'est bon?

c'est tout à fait juste , il te reste plus qu'à utiliser la formule

O noon, je sais pas utiliser cette formule...

faut savoir calculer le déterminant de 3 vecteurs et le produit vectoriel de deux vecteurs

le déterminant je trouve -3 , le produit vectoriel de u et v je trouve le vecteur w(-1,-7,-1)
Donc ||w|| = d'où d(D1,D2) =

Sauf erreur, calcul à vérifier je ne suis pas certain jsuis dans le flou

euhh, je vais essayé de le faire,sauf qu'il faut que je revoit bien mon cours, je suis pas au top sur les determinant...
Merci beaucoup,

ok, est ce que vous pouvez m'aider pour la dernière question svp:

4) décrire une méthode permettant le calcul des coordonnées des points H1 et H2

a non, j'ai pas compris le calcul sur la distance:

d(H2,P) = valeur absolue de [u1,u2,A1A2]/ u1u2

Or u1u2 = valeur absolue de u1 * valeur absolue de u2 * sin. comment caalculer ceci?

et [u1,u2,A1A2] est un produit mixte non?
Il vaut: A1A2.[u1u2]