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Géométrie analytique (distance d'un point à un plan de l'espace)
Bonjour,
Je butte dans un exercice ou on donne un plan (P) d'équation paramétrique :
On demande dans un premier temps de trouver l'équation cartésienne du plan. Je trouve donc les coordonnées d'un point M du plan (P) en prenant ce qui donne M(2,3,1), et deux vecteurs directeurs des coordonnées les coefficients de lambda et mu : u(1,-1,2) et v(-1,2,1).
Pour trouver un vecteur normal au plan je fais le produit vectoriel des 2 vecteurs directeurs, j'obtiens le vecteur w de coordonnées (-5,-3,1).
On a la forme cartésienne de (P) : Ax + By + Cz + d = 0. Je crois qu'on a donc d'où l'équation cartésienne
.
A partir de là on pose un point A(1,1,1) et on demande de donner la distance entre A et (P).
Je n'arrive pas à savoir par où commencer. J'ai essayé de partir avec le point H, projeté orthogonal du point A sur (P) tel que les coefficients du vecteur AH soient proportionnels au vecteur normal à (P), mais je bloque pour trouver la solution...
Si quelqu'un pourrait me donner un indice ca serait grandement appréciable merci !
(niveau début L1 ^^)
Distance d'un point à un plan d'équation ax+by+cz+d=0 :
Il me semblait que l'on apprenait ça en terminale !
Oui effectivement j'avais trouvé cette formule sur le net sur des formulaires de terminale, le pb c'est que je viens de bac pro donc moi du moins je ne l'ai pas vu. C'est une formule à connaitre par coeur et on peut la sortir sans justification ou il y a un moyen de retrouver cette formule méthodiquement ?
Intersection d'un plan d'équation ax+by+cz+d=0 avec une droite d'équations paramétriques :
On remplace x,y,z dans l'équation du plan par leurs expressions pour les points de la droite :
C'est une équation du premier degré à une inconnue !
Tu n'as donc qu'à déterminer des équations paramétriques de ta droite AH...Lorsque tu auras le point d'intersection avec le plan, tu n'auras qu'à évaluer la distance de ce point au point H !
Mais a priori, tu peux utiliser la formule que je t'ai donnée sans avoir à justifier quoi que ce soit !
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