Niveau Maths sup

geometrie dans l'espace

Posté par
luisram 19-12-09 à 13:37

Dans l'espace raporte à un repere orthonorme,on donne les plans

:5x+5y-3z-2=0 et 2x-y+z-6=0

et la droite
x=z+2
y=-z+1
Trouver touts les plans pi contenant la droite tels que pialpha et pibeta soient othogonaux

Posté par re : geometrie dans l'espace 20-12-09 à 08:38

Ne peux-tu proposer aucune méthode ?

Posté par re : geometrie dans l'espace 20-12-09 à 12:25

Bonjour ;

une façon de faire :

Un plan contenant la droite $3$\fbox{(D)\;:\;\{{x=z+2\\y=-z+1}$ a pour équation cartésienne $3$\fbox{(\Pi)\;:\;a(x-z-2)+b(y+z-1)=0\\\;\;\;\;(a,b)\neq(0,0)}$ un vecteur normal à $(\Pi)$ est donc $\left(\;a\\\;b\\b-a\right)$

Un vecteur directeur de la droite $(\Pi)\cap(\alpha)$ est le produit vectoriel $\left(\;a\\\;b\\b-a\right)$ $\left(\;5\\\;5\\-3\right)=\left(5a-8b\\5b-2a\\5a-5b\right)$

Un vecteur directeur de la droite $(\Pi)\cap(\beta)$ est le produit vectoriel $\left(\;a\\\;b\\b-a\right)$ $\left(\;2\\-1\\\;1\right)=\left(\;2b-a\\\;2b-3a\\-a-2b\right)$

Ces deux droites sont orthogonales ssi le produit scalaire $\left(5a-8b\\5b-2a\\5a-5b\right).\left(\;2b-a\\\;2b-3a\\-a-2b\right)$ est nul on trouve , tout calcul fait , la CNS $3$\fbox{a=b\left(\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}\right)}$

ce qui donne les deux plans solutions $4$\fbox{(\Pi_1)\;:\;\left(\frac{1-\sqrt{10}}{3}\right)(x-z-2)+b(y+z-1)=0\\(\Pi_2)\;:\;\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)(x-z-2)+b(y+z-1)=0}$ _{sauf erreur bien entendu}

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