Niveau maths spé

Gradient, hessienne

Posté par
matix 05-12-09 à 19:10

Bonsoir,

Soit la fonction $r_n(x)=c(x,t_n)-m_n$ , avec $c(x,t)=x_0+x_1t - x_0 exp(-x_2t)$ , $x=(x_0,x_1,x_2)$ . $m_n$ est la valeur relevée à l'instant $t_n$ , avec $0 \leq n <N$ .

Je cherche à exprimer $\nabla r_n(x)$ , puis la hessienne de $r_n$ dans un premier temps.

Je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait, mais voici mes résultats:

$\nabla r_n(x)=1+t_n+(x_0t_n-1)exp(-x_2t_n)$
$\\ Hr_n(x)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & t_n exp(-x_2t_n)\\ 0 & 0 & 0 \\t_n exp(-x_2t_n) & 0 & -x_0 t_n^2 exp(-x_2t_n) \end{pmatrix}$

Qu'en pensez-vous?

Ensuite, notant $f$ la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1} (c(x,t_n)-m_n)^2$ , je cherche à exprimer $\nabla f(x)$ et $Hf(x)$ en fonction de $r_n(x)$ , $\nabla r_n(x)$ et $Hr_n(x)$ , et je ne vois pas trop comment m'y prendre.. Pourriez-vous me montrer svp?

Merci d'avance.

Posté par re : Gradient, hessienne 06-12-09 à 03:58

... au passage, je corrige le gradient cherché:

$\nabla r_n(x)= \begin{pmatrix}1-e^{-x_2t_n} \\ t_n \\ x_0 t_n e^{-x_2t_n}\end{pmatrix}$

... et après une tentative, j'obtiens:

$\\ \displaystyle \nabla f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}r_n(x) \, \nabla r_n(x) \\$
et
$\\ \displaystyle Hf(x)=\sum_{n=0}^{N-1}[ r_n(x) \, Hr_n(x) \, + \, (\nabla r_n(x))^2]$

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