Bonjour,

Tu aurais peut être du poster dans la section lycée

En plusieurs étapes

- Choisis un repère centré en A ou B (au choix) d'axes Nord/Sud et Ouest/Est
Donne les coordonnées de A et B dans ce repère

- Exprime les coordonnées des bateaux (B1 et B2) en fonction du temps

- Exprime la norme du vecteur B1B2 en fonction du temps

- Cette fonction passe par un minimum, donc en étudiant sa dérivée, on trouve le minimum, et le temps correspondant et donc la distance correspondante

PS : au lieu de t'intéresser à la norme, intéresse toi au carré de cette norme (ça évite d'avoir des racines carrées à dériver)

Merci bcp !

Origine du repère où le bateau A est en t = 0.
axe des abscisses : direction et sens : Ouest vers Est
Axe des ordonnées : direction et sens : Sud vers Nord.
Unité de longueur : le miles
unité de temps : heure.

A(0 ; -16*t)
B(12t ; -32)

AB² = (12t)² + (32-16t)²

AB est min pour la même valeur de t pour laquelle AB² est min.

--> f(t) = (12t)² + (32-16t)²
Il faut trouver la valeur de t (t > 0) pour laquelle f(t) est minimum.

f '(t) = 288t - 32(32-16t) = 800t - 1024

f '(t) < 0 pour t dans ]0 ; 1,28[ --> f(t) est décroissante.
f '(t) = 0 pour t = 1,28
f '(t) > 0 pour t dans ]1,28 ; +oo[ --> f(t) est croissante.

f(t) est minimum pout t = 1,28 h

f(1,28) = (12*1,28)² + (32-16*1,28)² = 368,64

AB² min = 368,24

AB min = 19,2 miles.
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Sauf distraction.  

Merci bcp JP !  

J'ai un autre exo qui me pose problème...

Il est du même type que celui ci dessus:

Un parc rectangulaire a deux de ses côtés adjacents le longs des RN51 et RN69. Dans ce parc se trouve un petit lac dont l'une des extrémités; P se trouve à 256m de la RN51 et à 108m de la RN69.
Déterminer la longueur du sentier le plus court joignant la RN51 à la RN69passant par P.

Alors voilà comment j'ai procédé:

J'ai commencé par faire un schéma pour visualiser la situation, sur celui ci se dessine un triangle rectangle.
J'ai appelé x l'hypoténuse, même si on peut la trouver par calcul, je pense qu'il faut en trouver une valeur min de manière à obtenir une valeur min des deux autres longueurs.
J'ai donc exprimé ces deux longueurs en fonction de l'hypoténuse, à l'aide du théorème de Pythagore.
J'obtiens :

PR²= QR² - PQ² => PR²= x² - 108²
PQ²= QR²- PR² =>  PQ² = x² - 256²

J'ai un système, que je simplifie, j'ai alors: QR² =  2x² - 108² - 256² (QR étant l'hypoténuse )

Mais j'aboutis sur une dérivée égale à 4x.

Donc ce que j'ai fais est faux !

Mais je ne vois pas comment faire autrement, peut être au niveau du système ????

Bonjour PolskaVal.
Après t heures, A est à 32-16t du point de croisement et B à 12t à l'est de ce point.
Le carré de leur distance en miles est (32-16t)² + 12t²
= 1024 - 1024t + 256t² + 144t² = 400t² - 1024t + 1024
La dérivée de la distance : 800t-1024 est croissante et s'annule pour t = 1,28.
La distance sera minimale après 1,28 h (1 heure 16 minutes 48 secondes).
Le carré de la distance sera alors 800*1,28² - 1024*1,28 + 1024 = 1024 (on calcule que les deux premiers termes sont 2¹⁷/100 en positif et en négatif.
La distance sera 32.

Erreur !
Le premier terme est 400*1,28² = 2¹⁶/100 soit la moitié du deuxième terme en valeur absolue.
Le carré de la distane est donc -2¹⁶/100 + 1024 = 368,64 = 19,2.

La distance est