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holomorphe 1
bonjour,
petit soucis avec cet exercice : Soit D = {z 
, abs(z)<1} et c D
1) montrer que f définie par f(z)=(z-c)/(1-cbarre*z) est holomorphe sur D
j'ai écrit un truc du genre on est en présence d'un quotient de deux fonctions holomorphe sur D donc le quotient est lui même holomorphe sur D peut on justifier plus proprement ou cela suffit ?
2) montrer que f est une bijection de D sur D ( calculer f^-1)
la je sèche complément ça serait très gentil de m'aider merci a vous
Bonsoir.
1°) : fraction rationnelle sans pôle dans D.
2°) : Résous l'équation f(z) = Z, d'inconnue z, Z donné dans D.
peux tu me faire un petit topo sur les pôles Raymond dans mon esprit c'est pas claire du tout ca serait vraiment gentil de ta part
vraiment pas a l'aise avec cette matière...
et pour la deuxième question peux tu stp détailler un peu plus...
Les pôles d'une fraction rationnelle P/Q sont les racines du polynôme Q.
As-tu remarqué que si c est dans D, alors, 1 - .z ne s'annule pas dans D ?
en posant c' = -c, tu retrouves la même fonction : f-c = (fc)-1
As-tu remarqué que si c est dans D, alors, 1 - 3$\bar c.z ne s'annule pas dans D ?
pourquoi cela ? et que représente cbarre ?
mes questions peuvent te paraitre idiote ms mon prof de td c le spécialiste du " je détaille le moins possible" donc resultat final tout le monde rame et l'exam se rapproche...
pourrais tu stp jeter un coup d'œil a holomorphe 2 c'est le même genre voir comment tu t'y prendrais pour résoudre un tel exercice merci bcp
En terminale, tu as dû travailler sur les nombres complexes.
désigne le conjugué de
La fonction f est définie ssi son dénominateur est non nul.
Comme c est dans D,
Donc,
comme z est dans D, le dénominateur ne s'annule pas dans D
merci beaucoup Raymond juste un petit détail pour montrer que la fonction est bijective tu ty prendrais cmt proprement...
pour montrer la surjectivité et l'injectivité avec les domaines que l'on a moi ça me perturbes...
et pourrais tu dans le même genre regarder holomorphe 2...
ça serait vraiment tres gentil de ta part...
Pour plus de commodité d'écriture, je pose : = c*
Rappelons que :
¤ |c| = |c*|
¤ |c|² = c.c*
¤ c D 
|c| < 1 |1/c*| > 1
I. Holomorphie
1°) Si c = 0, f(z) = z : bijection de D sur D. Désormais, on supposera c non nul.
2°) Si c 
0, mon message de 23 heures montre que sur D, le dénominateur de f(z) ne s'annule pas.
(comme |z| < 1, z ne peut être égal à 1/c* puisque |1/c*| > 1).
Conclusion : f est définie sur D. Comme en plus f est une fraction rationnelle et qu'elle n'a pas de pôle dans D (son dénominateur ne s'annule pas dans D), alors, f est holomorphe dans D.
II. Bijection de D sur D
1°) Application de D dans D.
Nous devons montrer que z D f(z) D. La preuve demande un peu de patience.
Comme c D, 1-|c|² > 0.
Enfin, l'équivalence précédente permet d'écrire :
z D 
|z| < 1 1-|z|² > 0 |f(z)|² < 1 |f(z)| < 1
Ceci prouve que : f : D 
D
2°) Bijection de D dans D
Donnons nous un élément Z dans D (but) et cherchons si Z possède un antécédent z dans D.
Pour cela résolvons l'équation f(z) = Z, Z donné dans D et z inconnu (dans D espérons le !)
Mon calcul de résolution de cette équation figure dans mon message de 18 h 27, je ne reprends que la fin :
Ceci montre que si l'on appelle fc la fonction donnée, on aura :
Z = fc(z) z = f-c(Z)
Comme la propriété de fc d'aller de D dans D ne dépend pas du signe de c, on peut affirmer que f-c ira aussi de D dans D, donc Z D Z D.
Finalement tout Z de D possède un antécédent z dans D et un seul.
Conclusion :
f est une bijection de D dans D et (fc)-1 = f-c
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