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Niveau Licence Maths 1e ann
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holomorphe ex4

Posté par
darchov
23-12-08 à 14:27

bonjour toujours dans le même ordre d'idée : On considere la fonction De² dans definie par u(x,y)=x²+x+1-y²

1) prouvez que u est la partie reelle d'une fonction holomorphe sur
2) trouvez une fonction holomorphe f telle que Re(f)=u l'exprimer en fonction de z

Pouvez svp me le traiter en détail que j'ai un exercice corrigé type pour ce genre d'exercice ce serait tres gentil de votre part ( surtout la méthode a suivre pour répondre a 2eme question)

Posté par
otto
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 15:38

Bonjour,
c'est du Cauchy-Riemann (pour la 2) en remarquant que tu es sur C au complet (donc un domaine simplement connexe) et surement que u doit être harmonique. (c'est grosso modo la justification du 1).

A toi de faire les détails, j'ai pas plus le temps.

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 16:42

c la deuxième partie qui me pose problème voit pas comment appliquer CR...
pourrais tu me donner le chemin a suivre...

Posté par
Camélia Correcteur
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 17:26

Bonjour

Tu cherches une fonction v telle que u et v vérifient les conditions de Cauchy Riemann.

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 17:29

pourrais detaillez un peu plus stp

je dois donc chercher une primitive en qqsorte ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 17:43

Tu veux que

\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x+1 et

\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y

D'où (première ligne) v(x,y)=2xy+y+\varphi(x) et en dérivant par rapport à x, on voit que \varphi(x)
est constante.

Donc v(x,y)=2xy+y convient.

Dans ce cas F(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x^2+x+1-y^2)+(2xy+y)i=z^2+z+1

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 17:57

a partir de ton "d'où"que fais tu ?
je vois pas trop...
pourrais tu regarder un autre exo que j'ai poste holomorphe exo 3 c'est le meme genre et j'ai le meme soucis pour trouver partie imaginaire

merci bcp...

Posté par
raymond Correcteur
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 20:16

Bonsoir.

Pas de nouvelles de ta part. Es-tu satisfait du développement sur l'holomorphie ?

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 23-12-08 à 20:20

oups dsl Raymond je te remercie vraiment c'était: tellement clair que j'en ai oublie de repondre merci bcp en tout cas....:)

si tu pouvais m'aider sur cet exo la ça serait cool

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 25-12-08 à 11:08

j'ai besoin de précision svp je comprends pas bien la methode....
aidez moi...

Posté par
otto
re : holomorphe ex4 25-12-08 à 12:22

a partir de ton "d'où"que fais tu
On a la dérivée de v par rapport à y et à la sortie on a v(x,y), d'apères toi, qu'a t'on fait ?

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 11:44

ben justement je sais pas pour moi la logique voudrait que l'on primitive enfin je sais pas...je vois pas trop ce qu'eklle fait et ce qu'est son ...

Posté par
otto
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 13:54

Bein oui justement on a intégré.

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 13:59

on retrouve pas cela...
enfin ça me perturbes si j'integre 2x j'obtiens 2x²/2... et ça je le vois nulle part...
aide moi stp

Posté par
otto
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 14:33

Faudrait quand même que tu fasses un minimum d'effort ...
Tu as dv/dy et on cherche v, en terminale on est capable de résoudre ce problème...
On intègre donc par rapport à y ...

Le phi(x) apparait puisque tu sais que les primitives ne sont uniques sur un intervalle (ouvert connexe) qu'à une constante près. Notamment, la constante est une constante en y, ca peut très bien être une fonction de x.

Posté par
darchov
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 15:41

je suis ptetre très bete et je m'excuse te t'importuner de la sorte mais comment fait t'on pour integrer une expression en x par rapport a y...

Posté par
otto
re : holomorphe ex4 26-12-08 à 17:11

Je pense qu'il ne faut pas t'attaquer à ce genre de problème si tu n'as pas les bases de calcul ...
Il faut sérieusement revoir tes cours de calcul sur les fonctions de plusieurs variables sinon tu es perdu devant ce genre de problème.



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