Bonjour,
(petite expression de politesse à utiliser régulièrement)

Il faut déterminer les points d'intersection, en ces points calculer les vecteurs directeurs des tangentes, et vérifier que leur produit scalaire est nul

Bonjour,

Je sais comment faire le problème, cependant comment trouver les vecteurs directeurs est mon problème. Si tu lis ce que je sais, je t'explique ce que je dois faire, mais que je ne sais pas comment l'écrire. C'est plus ça mon problème.

Choix du repère tel on puisse écrire les équations de l'hyperbole et de l'ellipse sous les formes :

x²/a² - y²/b² = 1  avec b² = c² - a² (hyperbole)

x²/A² + y²/B² = 1  avec B² = A² - c² (ellipse)

Les foyers sont F1(-c ; 0) et F2(c ; 0).
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Les coordonnées des points de rencontre de l'ellipse et de l'hyperbole sont solutions du système:

x²/a² - y²/(c²-a²) = 1
x²/A² + y²/(A²-c²) = 1

x² = a²[1 + y²/(c²-a²)]
x² = A².[1 - y²/(A²-c²)]

a²[1 + y²/(c²-a²)] = A².[1 - y²/(A²-c²)]

y²[a²/(c²-a²) + A²/(A²-c²)] = A²-a²

y²[a²(A²-c²) + A²(c²-a²)] = (A²-a²).(c²-a²).(A²-c²)

y² = (A²-a²).(c²-a²).(A²-c²)/[a²(A²-c²) + A²(c²-a²)]

y² = (A²-a²).(c²-a²).(A²-c²)/(a²A²-a²c² + A²c²-a²A²)

y² = (A²-a²).(c²-a²).(A²-c²)/(c²(A²-a²))

y² = (c²-a²).(A²-c²)/c²

x²/A² + y²/(A²-c²) = 1
x²/A² + (c²-a²)/c² = 1
x² = A²[1 - (c²-a²)/c²]
x² = A²a²/c²

x = +/- A.a/c (abscisses des points de rencontre de l'ellipse et de l'hyperbole).
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Pour l'hyperbole :
x²/a² - y²/(c²-a²) = 1
y² = (c²-a²).(x² - a²)/a²

y1 = +/- V[(c²-a²).(x² - a²)/a²]
y1 = +/- V[(c²-a²)/a²].V(x²-a²)
y1' = +/- V[(c²-a²)/a²].x/V(x²-a²)
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Pour l'ellipse :
  
x²/A² + y²/(A²-c²) = 1
y2² = (A²-c²).(A²-x²)/A²
y2 = +/- V[(A²-c²).(A²-x²)/A²]
y2 = +/- V[(A²-c²)/A²].V(A²-x²)
y2' = -/+ V[(A²-c²)/A²].x/V(A²-x²)
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y1'.y2' = -V[(c²-a²)/a²].x/V(x²-a²) * V[(A²-c²)/A²].x/V(A²-x²)
y1'.y2' = -V[(c²-a²)/a²] * V[(A²-c²)/A²].x²/[V(A²-x²)(x²-a²)]

Et pour x = +/- A.a/c -->
y1'.y2' = -V[(c²-a²)/a²] * V[(A²-c²)/A²].(A²a²/c²)/[V(A²-(A²a²/c²))((A²a²/c²)-a²)]
y1'.y2' = -V[(c²-a²)/a²] * V[(A²-c²)/A²].(Aa/c²)/[V(1-(a²/c²))((A²/c²)-1)]
y1'.y2' = -V[(c²-a²)/a²] * V[(A²-c²)/A²].Aa/[V(c²-a²)(A²-c²)]
y1'.y2' = -1

Le produit des coeff. directeurs des tangentes à l'ellipse et à l'hyperbole aux points de rencontre de l'ellipse et de l'hyperbole est égale à -1.

Et donc les tangentes aux points de contact de l'ellipse et de l'hyperbole sont perpendiculaires.
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Sauf distraction ou erreurs (rien relu)