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Image de f(I) où f est continue strictement monotone
Bonsoir tout le monde. Je cherche une démonstration "propre" et claire du théorème suivant car ça parait tellement "évident" que je ne trouve rien.
Théorème : soit I un intervalle réel, et f : I → R continue et strictement monotone sur I. Si I est l'intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert)
d'extrémité a et b, alors f(I) est l'intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) d'extrémité
lim f(x) et limf(x)
x->a+ x->b-
Bonjour,
le fait que f(I) soit un intervalle découle du théorème ???
Le fait que les bornes de l'intervalle soient celles annoncées est presque trivial, il suffit d'appliquer la monotonie de ta fonction (suppose la croissance sans perte de généralité).
Le reste n'est pas compliqué non plus, par exemple par contradiction.
Bonjour,
autre approche: dans le cas où f est croissante et où l'intervalle [a;b] est fermé, prouve que tous les f(x) sont supérieurs ou égaux à f(a) et inférieurs ou égaux à f(b): donc l'image est un intervalle inclus dans [f(a);f(b)].
Par ailleurs, f(a) et f(b) sont dans l'image (trivial), donc c'est cet intervalle!
Mais par continuité, f(a) est la limite quand x tend vers a+ de f(x), et f(b) celle quand x tend vers b- de f(x).
Idem si f est décroissante.
Si l'une des bornes est ouverte, remplace les inégalités larges par des inégalités strictes. 
merci à vous 2. Je suis d'accord otto, c'est trivial, mais le fait que ce soit trivial n'en fait pas une démonstration.
Encore merci
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