Niveau Maths sup

Inégailté

Posté par
sami-dh 03-01-10 à 13:20

Salut à tous

J'ai besoin d'un coup de main pour démontrer:
$\\ \frac{\ln(2x+1)}{x}-1<\frac{4}{\sqrt{2x+1}}-1$

les méthodes classiques ça m'a pas servi à grandes choses

Merci

Posté par re : Inégailté 03-01-10 à 16:07

Bonjour !

Poser $u=\sqrt{2x+1}$
et étudier la fonction $f$ définie sur les réels strictement positifs par
$f(u)=\ln(u)-\frac{2(u^2-1)}u.$
Sa dérivée est strictement négative, donc $f$ est strictement décroissante.
Aussi, pour tout $u>1$ , $f(u)<f(1)=0$ et, pour tout $u<1$ (mais strictement positif) f(u)>f(1)=0.
Ceci devrait permettre de conclure.

Cordialement,

r².

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