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Inégalité

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 10-05-07 à 13:32

Bonjour tout le monde,

je bloque pour démontrer cette égalité:

5$(\forall n \in \mathbb{N}) \frac{1}{n!} \le ({\frac{e}{n}})^n

j'ai essayé un raisonnement avec récurrence, mais ça n'a pas marché.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
lafol Moderateurre : Inégalité 10-05-07 à 13:49

Bonjour
tu as essayé de passer aux ln et de comparer à des intégrales ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 13:56

(e/n)^n=e^(nln(e/n)) mais après?

Posté par
lafol Moderateurre : Inégalité 10-05-07 à 14:04

ln(1/(n!)) se transforme en somme ... peut-être quelque chose dans le genre de ton topic précédent, juste une idée comme ça, je ne sais pas si ça peut aboutir

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 14:18

ln(1/n!)=-ln(n!)=-ln(1*2*...*(n-1)*n)=-(ln1+ln2+ln3+...+ln(n))

et: ln(e/n)^n=nln(e/n)=nln(e)-nln(n)=n(1-ln(n))



Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 14:26

j'ai fait la différence et j'ai trouvé:

ln(1/n!)<ln(e/n)^n ce qui implique la relation que je veux démontrer. c'est ça?

Posté par
lafol Moderateurre : Inégalité 10-05-07 à 14:43

je ne comprends pas bien ce que tu as fait comme différence, mais une fois que tu as ça, il n'y a plus qu'à dire que exponentielle est croissante, oui

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité 10-05-07 à 14:45

Bonjour,

Citation :
ln(1/n!)

Tout le problème est de démontrer que ln(1/n!)
Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 14:50

Bonjour cailloux,

et c'est fait (en calculant la différence). donc je peux dire que: 1/n!<(e/n)^n

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité 10-05-07 à 14:51

Oui, mais je serais curieux de voir ce que tu entends par "fait en calculant la différence"...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 14:56

je veux dire calculer: n(1-ln(n))+(ln1+ln2+ln3+...+ln(n))

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité 10-05-07 à 14:57

Oui, mais comment as-tu démontré que cette différence était positive?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité 10-05-07 à 15:01

n(1-ln(n))+(ln1+ln2+ln3+...+ln(n))=n+ln1+ln2+ln3+...+ln(n)(1-n)

ah oui. tu as raison. J'avais cru que c'était n-1 et pas 1-n.

alors comment faire??

Posté par
cailloux Correcteurre : Inégalité 10-05-07 à 15:11

C' est une proposition, il y a sûrement d' autres solutions.

Soit I_n=\int\limits_1^nln(x)\,dx=nln(n)-n+1 (en intégrant par parties)

Par des considérations d' aires et en adaptant la méthode des rectangles à la fonction x \right ln(x) sur l' intervalle [1,n] avec des subdivisions de longueur 1, on peut majorer I_n:

I_n \leq \sum\limits_{k=2}^n ln(k)

Ainsi nln(n)-n \leq nln(n)-n+1 \leq ln(2)+ln(3)+\cdots +ln(n).

Il y a sûrement mieux...


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