grad(u) va de  D vers ² de sorte que (grad(u))² n'a pas de sens .

Si on désigne par |.| la norme euclidienne sur ² je pense que "ta norme(u)" doit être (_D  |grad(u)|² )^1/2 . Je la noterai N(u) .
Pour aller plus loin il faut que tu précises
1. l'ensemble D . Est-ce ₊^* ?
2. ce que signifie " intégrable ": ça ne serait pas plutôt "de carré intégrable"  ?
   Je suppose que la mesure est la mesure de Lebesgue sur ² ?

Bonsoir kybjm,

oui effectivement je voulais écrire |grad(u)|^2

1. L'ensemble D est bien ^*₊

2. L'espace H est en fait l'espace des fonctions u de L²_loc(D) telles que (grad(u)) appartient à (L²(D))² (donc les fonctions sont de carrés intégrables).
On munit cet espace du PS : (u,v)=_D(grad(u)).(grad(v))


Désolé pour ces erreurs

(grad(u)).(grad(v)) doit être le produit scalaire de grad(u)) par (grad(v) que je préfère noter < grad(u)) , (grad(v) > car ily a trop de ( , et trop de ) à mon goût .

1.Je te conseille de revoir la preuve du fait que
1. Si u et v sont dans H , <u , v > est intégrable et que
2.(u,v) _D<u , v > est un PS.


2.J'écris D₁ au lieu de d rond/d rond x , D₂ au lieu de d rond/d rond y et au lieu de _D

Soient u et v dans H et f = -D₁u.D₂v + D₁v.D₂u
Il s'agit d'abord de montrer que _D |f| < +. Or f = <s , t> où s = (-D₁u , D₂u) et t = (D₂v , D₁v)
On a donc |f| |s|.|t| ......= N(u).N(v) < +.
On peut donc noter B(u,v) = -D₁u.D₂v + D₁v.D₂u  .
On a : |B(u,v)|    |f| N(u).N(v) d'après ce qui précède.

B est donc une forme bilinéaire continue sur (H,N)

Merci Beaucoup kybjm !