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Inégalité à prouver

Posté par
bressa72 14-11-09 à 00:05

Bonjour, je suis tout nouveau dans le forum et je remercie d'avance tous les membres de l'aide qu'ils pourraient m'apporter. Je suis en première année en classe préparatoire HEC option scientifique (je préfère me présenter car j'ai dû cocher autre dans l'inscription).

Voilà une petite inégalité à prouver tombée dans mon DS de lundi. Je l'ai faite par récurrence et avec une étude de fonction mais y-a t'il un autre moyen par inégalité successives par exemple ?

la voici : pour tous k entier naturel diffèrent de 0 montrer que ; 2sqrt(k+1) - 2sqrt(k) <= 1/sqrt(k)<= 2sqrt(k) - 2sqrt(k-1)

merci d'avance

Posté par
Rudire : Inégalité à prouver 14-11-09 à 00:10

bonjour

V=racine carrée

Vk < moyenne de (Vk;V(k+1)) soit Vk < (Vk+V(k+1))/2

en prenant l'inverse, tous ces termes étant positifs,

1/Vk > 2/(Vk+V(k+1))

expression conjuguée

1/Vk > 2(Vk -V(k+1))/(k-(k+1))

1/Vk > 2(V(k+1)-Vk)

tu as la prem-ère inégalité

tu fais pareil pour la seconde

sauf erreur

rudy

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Inégalité à prouver 14-11-09 à 00:16

On pourrait aussi appliquer le TAF à 3$x\to2\sqrt x sur chacun des segments 2$[k-1,k] et 2$[k,k+1] sauf erreur bien entendu

Posté par
bressa72Merci 14-11-09 à 00:20

Merci bien vu ^^ je suis mauvais avec les inégalités et ta technique pourra sans doute m'aider plus tard !

Posté par
bressa72re 14-11-09 à 00:21

qu'est ce que c'est que le TAF ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Inégalité à prouver 14-11-09 à 00:55

le 3$\red Théorème des 3$\red Accroissements 3$\red Finis \;

Posté par
Rudire : Inégalité à prouver 14-11-09 à 07:56

bonjour elhor_abdelali

peux-tu mettre le détail de résolution avec le TAF ?

rudy

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Inégalité à prouver 14-11-09 à 22:08

Volontier

pour k\in\mathbb{N}^* la fonction f : x\to2\sqrt x étant :

continue sur [k-1,k] et [k,k+1] ,

dérivable sur ]k-1,k[ et ]k,k+1[ ,

on a l'existence de (c,d)\in]k-1,k[\times]k,k+1[ tel que f(k)-f(k-1)=f^'(c) et f(k+1)-f(k)=f^'(d)

c'est à dire 2\sqrt k-2\sqrt{k-1}=\frac{1}{\sqrt c} et 2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt d}

et comme \frac{1}{\sqrt c}>\frac{1}{\sqrt k}>\frac{1}{\sqrt d} on a le résultat souhaité sauf erreur bien entendu

Posté par
Rudire : Inégalité à prouver 14-11-09 à 22:32

merci elhor_abdelali

élégant...

rudy

Posté par
infophilere : Inégalité à prouver 14-11-09 à 23:13

Comme à son habitude


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