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Inégalité avec intégrale
Bonjour;
Je bloque sur un problème
Soit f:[a,b]-> R convexe
Montrer (b-a)f((a+b)/2)
f(b-a)*(f(a)+f(b))/2
Mes recherches:
-Sur les fonctions convexes, je connais la définition:
f(
a+(1-)b)f(a)+(1-)f(b)
En prenant =1/2
on obtient
f(a+b/2)(f(a)+f(b))/2
Ca se rapproche de l'inégalité qu'on veut mais apres que faire pour mettre l'intégrale entre tout ça.
oui l'intégrale est bien entre a et b
Malheureusement on a pas encore vu par la méthode des trapèzes (ca va pas tarder); on a juste vue avec l'intégrale de Riemann.
Mais peut etre que c'est le meme principe? On considere une fonction en escalier ?
C'est bon en fait j'ai trouvé:
Pour l'inégalité de gauche: on considère une fonction affine:
(a) =f(a) et (b)= f(b)
Comme f convexe f(x)<(x)
et en intégrant entre a et b on trouve le résultat
Pour celle de droite: on sait que f est au dessus de sa tangent en particulier pour x=a+b/2
Merci tout de meme !
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