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inégalité de convexité (Jensen)

Posté par
mouss33 22-05-09 à 19:23

Rebonjour!

Je suis en train de regarder l'inégalité de Jensen et déjà, mon 1er problème est que j'ai plusieurs énoncés.

Voici les 3 :

Soit f une fonction convexe sur I, (x_1,...,x_n)\in I et (\lambda_1,\lambda_n)\in R^+ tel que \sum_{i=1}^n \lambda_i=1 . Alors f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i)\le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)

Pour les 2 autres énoncés, c'est la même sauf que (\lambda_1,...,\lambda_n)\in [0;1] ou (\lambda_1,...,\lambda_n) sont strictements positifs.

j'ai du mal à voir ce que cela change suivant les caractéristiques imposées au \lambda! (suivant l'énoncé choisit, la démonstration est beaucoup plus allégée!)

Merci d'avance!

Posté par
Xphilere : inégalité de convexité (Jensen) 22-05-09 à 21:47

bonjour mouss33
dans mon cours j'ai ta première version de l'inégalité de Jensen.
puisque les i sont positifs ou nuls, et que leur somme vaut 1, ils sont tous dans [0;1]
après le fait de dire qu'ils sont strictements positifs et que leur somme vaut 1 je pense que ça revient au même

Posté par
amauryxiv2re : inégalité de convexité (Jensen) 23-05-09 à 04:00

Bonkour. D'après moi l'inégalité de Jensen consiste à dire que f(la moyenne) la moyenne des f; mais ce à condition que la moyenne soit dans [x1[sub]; n[/sub] (en supposant les xi ordonnés), c'est à dire si la somme des i soit égale à 1

N.B. si la somme des i est disons égale à a < 1, les contre-exemples sont simples: il suffit de regarder le cas n = 2 avec (x1, x2) = (1, 2) et (1, 2) = (a, 0). Idem si la somme des i estégale à a > 1

Posté par
mouss33re : inégalité de convexité (Jensen) 23-05-09 à 13:51

D'accord merci à vous deux.


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