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Niveau Maths sup
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inégalité fonction/réciproque

Posté par
robby3
12-11-09 à 22:08

Bonsoir tout le monde,
une inégalité m'agace:

démontrer que pour 5$ x\in ]0,\frac{1}{e}] on a:

5$ \fbox{\fbox{x\le f(x)|ln(f(x))|}}

ou 5$ \rm f(x)=\frac{x}{|ln(x)|} si x>0 et f(0)=0

toute idée est la bienvenue, je rame depuis un certain moment.
(j'ai essayé l'étude de fonction,rien à faire,c'est trop compliqué pour ce que c'est.)
je bloque.

Merci d'avance de vôtre aide!

Posté par
gui_tou
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:20

Salut robby !

ça revient à montrer que 3$ 1 \le \fr{1}{|\ell n(x)|}|\ell n(x)-\ell n(\ell n(x))|={4$\|\fr{\ell n(x)}{|\ell n(x)|}-\fr{\ell n(\ell n x)}{|\ell n(x)|}\|=\|-1-\fr{\ell n(\ell n x)}{|\ell n(x)|}\|

ce qui a l'air d'être vrai puisque ln(ln(x))<0 non ?

Posté par
gui_tou
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:25

Oups, c'est du ln|ln(x)| pas du ln(ln(x)).

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:27

Salut

Vite fait avant de faire dodo :

x < x/|ln(x)|*|ln(f(x))|

<=>

1 < |ln(f(x))/ln(x)|

et dans les valeurs absolues c'est 1 - ln(|ln(x))/ln(x)

Et on a sur cet intervalle ln(|ln(x)|)/ln(x) < 0

Je te laisse le montrer

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:28

Devancé, salut guigui

Posté par
robby3
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:28

Salut Gui_tou.
Je suis effectivement passé par là, mais je ne vois pas la suite des opérations.

notamment à cause du ln(|ln(x)|)

Posté par
gui_tou
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:29

Salut kéké

robby, c'ets plus clair avec le post de kéké ?

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:31

ln(x) est négatif sur cet intervalle donc faut montrer que ln(|ln(x)|) > 0

Et ça c'est vrai car en passant à l'expo |ln(x)| > 1 qui est clairement vrai sur cet intervalle.

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:32

J'vous laisse les gars j'me lève dans 6h

Bonne nuit

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:34

guigui tu peux prendre la relève sur le topic des séries ?

A demain !

Posté par
robby3
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:35

Salut Kévin,
bien, à vrai dire,j'avais déjà ça sur mon brouillon, mais pour moi,on a qu'il faut montrer que:
5$ 1\le \|-1-\frac{ln(|ln(x)|)}{|ln(x)|}\|

mon 5$ |ln(x)| au dénominateur est négatif sur mon intervalle, il faut que je montre donc que mon5$ \rm ln(|ln(x)|)>0 sur ]0,\frac{1}{e}]
et si je passe à l'exponentielle croissante: on a
5$ \rm e^{ln(|ln(x)|)}>1 cad |ln(x)|>1
y'a un problème non?

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:38

Bah non c'est juste

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:43

je veux dire t'as réussi

Posté par
robby3
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:45

bah je croyais que mon |ln(x)| était négatif??!!

ps:c'est moi ou bien l'île bug?

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:47

lol avec une valeur absolue?

Posté par
robby3
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:52

ah oui,mince!
désolé, 5h de ds + 2h sur mon dm,ça m'a cramé.

Merci et bonne(et courte) nuit!

Posté par
infophile
re : inégalité fonction/réciproque 12-11-09 à 22:53

De rien et merci bonne nuit

Posté par
H_aldnoer
re : inégalité fonction/réciproque 13-11-09 à 19:02

Y'a pas moyen d'appliquer Jensen la dessus ? Le \Large ln o f y invite pourtant!

Posté par
robby3
re : inégalité fonction/réciproque 13-11-09 à 19:04

comment tu l'appliques?

Posté par
H_aldnoer
re : inégalité fonction/réciproque 13-11-09 à 19:23

Je sais pas, juste une intuition



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