Bonsoir,

utilises le fait que si , alors est le carré d'un nombre , ie .

Bonjour, angelmarmotte

Si x est positif, il peut s'écrire sous la forme   x=y^2.
Donc:

Devancé !
Bonjour,  romu

Bonjour perroquet

ok merci
j'fais ca j'pense qu'apres j'aurais encore des questions!!
vous pensez que si j'arrive pas à faire ca, j'veux dire faire mes DM de maths toute seule, j'm'en sortirai en prepa MPSI??

après on me demande de déterminer les fonctions f de ER, dérivables et telles que f(0)=0. on me dit qu'on pourra comparer ((f(x+h)-f(x))/h et f(h)/h selon le signe de h, et faire tendre h vers 0...
J'vois pas le rapport entre ce qu'on me demande et le fait de pouvoir comparer les taux d'accroissement...
Dure la reprise!

Bonsoir

Pour h positif:


On fait tendre h vers 0 par valeurs positives. On en déduit:  


Pour h négatif:


On fait tendre h vers 0 par valeurs négatives. On en déduit:  

Donc  f'(x)=f'(0)

Donc  f(x) = ax,       avec   a=f'(0)

Il reste à déterminer pour quelles valeurs de a  f est dans  ER

d'accord je comprends bien le cheminement
mais pour n'importe quelle valeur de a f est dans R? Il suffit jste que f soit de la forme f(x)=cste*x
nn?

merci jeanseb , j'vais m'accrocher de toute facon!

oui alors pour ne pas changer le sens des inégalités, il faut que a soit positif? je pense que pour n'importe quel a positif, f(x)=ax convient, je me trompe?

en relisant ce que vous avez écrit, je dis n'importe quoi, c'est pas comme ca qu'il faut résonner...

en fait je ne vois pas comment trouver a... desolee mais parfois j'ai beaucoup de mal!!

f(x)=ax

L'inégalité   est toujours réalisée.
L'inégalité     s'écrit       donc     et ceci pour tout x,y, le produit xy peut donc être positif ou négatif.
La seule possibilité est que  

Il n'y a donc que deux applications   f(x)=0    et    f(x)=x

d'accord merci beaucoup pour votre aide!

bonjour a la question suivante du meme exercice, on ne suppose plus que f est derivable ni que f(0)=0 mais on suppose que f est impaire et non identiquement nulle
pour montrer que f(1)=1, je peus me servir de la reponse a la question precedente? c'aest a dire qu'on a trouvé que les 2 fonctions qui verifiaient ER étaient soit f(x)=x ou f(x)=0
comme f n'est pas identiquement nulle, je peux dire que f est telle que f(x)=x donc f(1)=1?

Non, puisque les hypothèses de la question précédente ne sont pas vérifiées.

Pour montrer que f(1)=1, tu vas utiliser ceci:


Je te laisse continuer le raisonnement

après j'arrive a f(x)f(x)f(1)
je dis si x0 alors f(x)0 donc je ne change pas le sens
et je demontre que si x0 f(x)0 donc je change le sens de l'inegalite
a la fin j'arrive a f()=
non? ou bien je me sers du fait que f soit impaire?

je voulais dire a la fin j'arrive a f(1)=1

Il faut d'abord préciser qu'il existe x tel que f(x) est non nul ( f étant non nulle).
Comme f est impaire, on peut supposer que x est strictement positif (x ne peut pas être nul puisque f(0)=0, f étant impaire), en remplaçant au besoin x par -x.

Ensuite, commme tu l'as dit comme f(x) est strictement positif, on en déduit que
Ensuite, comme f est impaire, f(x) est strictement négatif.
Et, comme tu l'as écrit ...

ca y est j'ai trouvé
2 questions plus bas, on me demande de montrer que pour tout entier n et x reel fixe, f(nx)=nf(x)
moi j'arrive a montrer que -f(n)f(x)f(nx)f(n)f(x)
mais j'vois pas comment arriver a f(n)=n

pour tout entier n et pour x réel fixé, montrer que f(nx)=nf(x)
j'arrive à: f(nx)=f(n)f(x)
mais comment trouver n?

Je pense que tu devrais donner les questions intermédiaires. Elles permettent peut-être d'obtenir la réponse.

les questions d'avant sont: montrer que f(1)=1 et que f(x+y)=f(x)+f(y)
ca j'y suis parvenue
sans oublier que f verifie les conditions
pour x,y de R, f(x+y)<ou=f(x)+f(y)
pour x,y de R f(xy)>ou=f(x)f(y)

Si tu as réussi à démontrer que  f(x+y)=f(x)+f(y), alors, on peut démontrer par récurrence sur n entier naturel que
f(nx)=nf(x)
Pour n négatif, on peut utiliser ensuite le fait que f est impaire

ah d'accord on le fait par récurrence, je n'y avais pas du tout pensé merci

ensuite, montrer que si xy alors 0f(y-x). Pouvez-vous me donner une piste de recherche svp?

y-x étant positif, son image par f est positive (démontré dans une question précédente)

oui je vois merci encore!

de là je peux donc en conclure que f est croissante
0f(y-x)
0f(y)-f(x)
f(x)f(y)
donc f croissante

Oui

pour revenir a la question ou me l'on demande de montrer f(nx)=nf(x)
j'ai reussi a montrer ceci par recurrence
apres on demande d'en deduire que si u rationnel alors f(u)=u commment faire??

Pour n entier   f(n)=n  (en posant x=1 dans l'égalité f(nx)=nf(x))

Si on prend maintenant  ,
f(qx)=f(p)=p
f(qx)=qf(x)
Donc:
qf(x)=p