salut
fais un DL d'ordre 3 en 0 de la racine

Euréka! Merci ! enfin fallait le voir -_-'

Du coup 1/(1+x) = 1 - x/2 + 3x²/8 + o(x^3)
et donc
1/(1+x) - (1 - x/2) = 3x²/8 + o(x^3)

Par contre ma grande maîtrise des petits o ne me permet pas de savoir si je peux directement en conclure l'inégalité, cad  
1/(1+x) - (1 - x/2) 3x²/8   ?

pour l'inégalité de gauche, concavité de la fonction 1/rac(x+1) qui est donc au dessus de sa tangente en 0

pour l'inégalité de droite, on ramène tout dans le membre de gauche... on dérive suffisamment et on remonte d'études de signes en étude de variation jusque ce qu'on cherche

MM

le développement limité ne prouve qu'une inégalité locale... et on la veut sur ];+inf[ donc cela ne suffit pas

MM

Arf en  effet, l'étude de signe, je l'ai tenté et elle est absolument horrible, donc je cherche une astuce "plus belle" ^^

hum en fait pas si horrible si on dérive 2 fois, (jdevrais pas utiliser la calculette ça me déprime tant de simplicité :p) mais il y a moyen de faire quelque chose avec une formule de taylor nan ?

ah bon ?

essayons

f(x)=1/rac(x+1)

I=[0;+inf[
f'(x)=-1/2((x+1)rac(x+1)
f"(x)=3/(4(x+1)²rac(x+1)) > 0
donc Cf est au-dessus de ses tangentes
et la tangente en 0 est y=1-x/2
donc f(x)1-x/2

cela te donne l'inégalité de gauche... c'est même vrai sur ]-1 ; + inf[

Oui en fait tu as raison, j'ai du me tromper en le faisant à la main, mais effectivement c'est payant pour montrer ensuite le membre de droite !
Mais j'ai l'impression (peut être fausse cela dit) que l'on peut utiliser une formule de taylor et cela me frustre de ne pas voir comment xD

g(t)=f(t)-(1-t/2)
et x dans I

g'(t)=f'(t)+1/2 (remarque : g'(0)=g(0)=0)

g"(t)=f"(t)3/4 pour tout t[0;x] (puisque (x+1)²rac(x+1) 1 )

on intégre l'inégalité de 0 à x

g'(x)-g'(0) 3*x/4 pour tout x 0

donc pour tout t[0;x]

g'(t) 3*t/4

on intégre de 0 à x

g(x) - g(0) 3*x²/8

c'est ce qu'on voulait non ?

Wahou! J'adore cette technique , ça requiert quand même une bonne grosse intuition!
En tout cas, merci   (Et puis tu as fait ça à une vitesse! jsuis envieux ^^)

question d'entrainement... cela viendra aussi pour toi...

(en fait je prends des bouts de démos de formules de Taylor là !)

content de t'avoir aidé.

essaye de le refaire sans regarder la solution d'ici 2 ou 3 jours pour voir si tu as compris la technique

Soient g et h les application de I = ]-1,--->[ dans R définies par
g(t) = (1+t)^1/2 -1 +t/2
h(t) = (1+t)^1/2 -1 +t/2 - (3/8)t^2

On pose J = [0,--->[

g et h sont indéfiniment dérivable et , après calculs, on trouve que  

1.pour tout t de J on a 0 < g'(t)donc g croît sur J et comme g(0)=0 on a : pour tout t de J , 0 < g(t)

2..pour tout t de J on a h''(t) < 0   donc h' décroît sur J
  .comme h'(0) = 0 , pour tout t de J on a h'(t)< 0 donc h décroît  sur J
  .comme h(0) = 0 [  , pour tout t de J  on a h(t) < 0  

oui Kybjm.

c'est ce que fais avec les intégrales... et toi tu le fais avec les tableaux de variations/étude de signe.

c'est pareil !

cordialement

mm