bonjour

a,b et c sont quelconques  dans R ?

bonsoir,
oui, ils appartiennent à R+

bonsoir

personnellement, j'envisagerais deux cas pour chaque nombre, suivant qu'il est plus grand ou plus petit que 1/2

oui mais il reste le cas  :  a,b, c tous <1/2  et positifs

En effet...

bonjour,

Bonsoir ;

Etant clair que les inégalités , et ne peuvent avoir lieu simultanément

l'une au moins des inégalités , ou est vérifiée

ou encore l'une au moins des inégalités , ou est vérifiée

ce qui conduit à l'une au moins des inégalités , ou est vérifiée _{sauf erreur bien entendu}

bonsoir
rien n'interdit de supposer, compte tenu 3 des nombres  proposés que 0<abc
d'autre part si c>1 alors 1-c<0 donc a(1-c)<0<1/4 donc la proposition est vérifiée
on suppose donc 0<abc<1
dans cette situation le produit des trois nombres proposés est1/64
P=a(1-b)b(1-c)c(1-a)=[a(1-a)][b(1-b)][c(1-c)]
ce produit atteint son maximum si chaque facteur est maximum
or a(1-a) est maximum si a=1/2 (produit de 2 nombres dont la somme vaut 1)
de même on trouve b=1/2 et c=1/2
soit P1/64
par conséquent l'un des 3 nombres proposés est1/4 sinon leur produit serait >1/64 ce qui est contradictoire avec le résultat précédent
sauf erreur

erreur: dans la 2ème ligne il faut lire si c1alors 1-c0 donc a(1-c)0<1/4

ce qui donne

et comme on a le résultat souhaité _{sauf erreur bien entendu}

Et on obtient même une caractérisation du cas d'égalité : _{sauf erreur bien entendu}

Merci à tous
bon week end