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inégalités fonctionnelle ds N
pourriez vous vérifier les réponses que j'ai deja trouvé et me donner des indications pour les 4 5 et 6. Merci
on se propose de chercher les fonctions f de N ds N telles que:
pour tout x,y ds N, f(x+y) <ou= f(x) + f(y)
pour tout x,y ds N, f(xy) >ou= f(x) f(y)
1. Quelles sont les fonctions constantes qui conviennent?
Réponse: f(x) = 0 et f(x) = 1
2. Parmi les fonction suivantes, quelles sont celles qui conviennent :
a. f = id(N) j'ai mis oui
b. f(x) = x² j'ai mis non
c. f(x) = 0 si 3|x et 1 sinon je trouve pas
On note f une fonction qui convient et ne s'annule pas sur N/{0}
3. Montrer que f(0) = 0 ou que f(0) = 1. Que dire de f(1)?
Réponse: comme f(x) = 0 et f(x) = 1 conviennent alors pour x=0 ou x=1 on a le résultat
4.On suppose que f(0)=1. Montrer que f est constante
5.On suppose désormais que f n'est pas constante. Montrer que f(0)=0 et f(1)=1 puis que pour tout n ds N, f(n) <= n
6. Montrer que pour tout p ds N/{0} et tout n ds N, f(p^n) >ou= f(p)^n
Bonjour,
On note f une fonction qui convient et ne s'annule pas sur N/{0}
3. Montrer que f(0) = 0 ou que f(0) = 1.
Dans tes inégalités fonctionnelles, en prenant x=y=0, on a
f(0)
2f(0) donc f(0)
0
f(0)
f²(0) donc f(0)[f(0)-1])0
Comme, f(0)
0, f(0)1
Ainsi 0
f(0)1
Et comme f:
J'ai réussi à faire presque tout l'exercice mais j'ai quelques doutes pour les questions suivantes. Pourriez vous vérifier, :
pour la question 4. avec les indications que vous n'avez donné, j'ai fait :
Pour x=0, f(0) >ou= f(0) f(y).
Or f(0) = 1 donc f(y) <ou= 1. Comme f est à valeur dans N alors f(y) = 0 ou f(y) = 1 donc f est constante.
pour la 5. est ce que je peux utiliser la contraposée de la question précédente ?
On a montrer à la question 4 que si f(0)=1 alors f est constante. Donc si f n'est pas constante alors f(0) différent de 1. Or f(0) est soit égal à 0 ou 1 d'après la question 3 donc f(0) = 0.
Merci
Voici la suite du problème. On est ds le cas particulier où f est croissante. On note f une fonction croissante, non constante, qui convient et telle que pour tout x,y ds N, f(xy) = f(x) f(y)
1. On note p un entier naturel non nul
1a. Montrer que pour tout n non nul, il existe un unique naturel k tel que 2^k <ou= p^n <ou= 2^(k+1)
Quand on me pose ce genre de question, est ce que je dois supposer qu'il en existe en deuxième et montrer que c'est impossible? Faut-il exprimer k en fonction de n ?
Bonjour, voici la suite de mon problème:
1b. En déduire la limite en +inf de k/n
J'ai trouvé ln(p)/ln(2)
1c. Montrer que k ln(f(2)) <ou= n ln(f(p)) <ou= (k+1) ln(f(2))
J'ai réussi aussi à faire
2. En déduire que pour tout p, f(p)=p^z avec z= ln(f(2)) / ln(2)
J'ai réussi
3. En déduire que nécessairement z=0 ou z=1
Je pense qu'il faut montrer que f(2)=1 ou f(2)=2 mais je ne trouve pas comment
. Pourriez vous m'aider
4. Quelles sont les fonctions croissantes qui conviennent ?
Bonjour, n'ayant pas fait spécialité maths l'an dernier en terminale, pourriez vous me donner quelques indications pour résoudre ce problème. Merci
Soient f les fonctions de N ds N telles que:
pour tout x,y ds N, f(x+y) <ou= f(x) + f(y)
pour tout x,y ds N, f(xy) >ou= f(x) f(y)
On suppose qu'il existe un entier naturel n non nul tel que f(n) = 0 et on note p le plus petit entier non nul tel que f(p)=0
1. Monter que p est premier
2. Justifier que pour tout naturel n non nul que si p|n alors f(n) = 0
3. On note n un entier naturel
3a. Montrer en considérant la division euclidienne de n par p que f ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs
3b. Montrer que f(n) = 0 ou f(n) = 1
3c. Déterminer f(1), f(2), ..., f(p-1). En déduire f(n) en fonction de n pour tout n non nul. Que dire de f(0)?
*** message déplacé ***
Elle n'est toujours pas finie cette histoire?
Soit n le plus petit entier tel que f(n)=0. Si n n'est pas premier, on a n=ij avec i et j strictement inférieurs à n. Mais alors 0=f(ij) f(i)f(j) ce qui entraine f(i)=0 ou f(j)=0 ce qui est impossible.
*** message déplacé ***
J'ai une idée pour la question 3. Pourriez vous me dire si c'est bon, merci.
D'aprrès la question 5, "On suppose désormais que f n'est pas constante. Montrer que f(0)=0 et f(1)=1 puis que pour tout n ds N, f(n) <ou= n", on a
f(2) <ou= à 2 donc f(2)=0 ou f(2)=1 ou f(2)=2. Or par hypothèse f ne s'annule pas sur N/{0} donc f(2)=1 ou f(2)=2 et donc z=0 ou z=1.
Pourriez vous me dire si pour la question 2, mon raisonnement est exact :
si n|p alors n=kp donc f(n) = f(kp) <ou= k f(p). Or f(p)=0 et f est à valeur ds N dc f(n)=0
*** message déplacé ***
pour la 3a., voici mon raisonnement, est-il exact ? :
n = kp + r avec r<k
f(n) = f(kp+r) <ou= k(fp) +f(r)
Or f(p)=0 docn f(n) <ou= f(r)
Comme f(r) une entier alors f ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs
*** message déplacé ***
pourriez vous m'aidez pour les questions 3b et 3c , merci:
3b. Montrer que f(n) = 0 ou f(n) = 1
3c. Déterminer f(1), f(2), ..., f(p-1). En déduire f(n) en fonction de n pour tout n non nul. Que dire de f(0)?
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