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inégalités trigonométriques

Posté par
pppa 08-12-09 à 18:26

Bonsoir à tous

j'ai 2 inégalités trigonométriques à vérifier.

Pr la 1ère j'ai une solution mais je ne suis pas sûr de la solidité de mon raisoonnement sur la tte la longueur.
Pr la  2ème, j'ai un commencement de piste, mais je m'en sors mal.

Avant de poster le sujet, pr simplifier les écritures je pose
3$ I = ]0;\frac{\pi}{2}[, intervalle d'étude .

1/ Montrer que :   x I,  3$ \tan x > x+\frac{x^3}{3}

Ma solution : je pose :  3$ f(x) =\tan x-x-\frac{x^3}{3} (1)

ce qui me permet de transformer l'inégalité à vérifier en f(x) > 0

==> f'(x) = tan²x - x²

Déjà là j'ai un doute ; il me semble que x I, x < tan x, mais je ne retrouve pas ce résultat ds mes livres ni direct sur internet...
Supposons que ce soit vrai (mathématiquement c'est politiquement incorrect mais j'ai fait qqs essais à  la calculatrice qui me confortent ds ce que je pense être vrai)
alors : x I, x² < tan² x

et donc x I, f'(x) > 0 ==> f est strict croissante sur I.

2èem doute, comme f(0) = 0, o a x I, f(x) >0, ce qui vérifie l'inégalité de départ, sauf que.. .. 0 I, dc est-ce que je peux raisonner comme ça ?

2/ Montrer que :   x I,  3$ \cos x < 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}(1)


je transforme (1) en 3$ \cos x - 1 < \frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2}
parce que l'expression cos x -1 me fait penser à la formule

3$ \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1-cos x}{2}}

d'ou (j'ai passé les détails mais si bessoin je vs les donne)3$ -2\times\sin^2 \frac{x}{2} < \frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2}

soit 3$ -2\times\sin^2 \frac{x}{2}+\frac{x^2}{2} < \frac{x^4}{24}

mais arrivé là je ne m'en sors pas...


Pouvez-vs m'aider svp

merci d'avance

Posté par
Drysssre : inégalités trigonométriques 08-12-09 à 18:37

ce genre d'inégalité, c'est :
tu dérives, dérives, dérives, dérives jusqu'à ce que tu t'en sortes.
Pareil pour tan x - x...

Si tu as fait le cours sur l'intégration, c'est du taylor lagrange sinon.

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 08-12-09 à 18:48

Merci dryss, mais

Pr la 2 c'est aussi ce que j'avais commencé  à faire mais je ne m'en sortais pas  ! Taylor Lagrange, j'ai pas vu.

Qqn peut-il m'aider plus svp ?

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 08-12-09 à 19:07


Citation :
ce genre d'inégalité, c'est :
tu dérives, dérives, dérives, dérives jusqu'à ce que tu t'en sortes


Je crois pas que je puisse me permetre de répondre ça !!

Merci  à celui/celle qui saura me donner une aide + adaptée à) mon besoin ds la soirée  

merci

Posté par
Drysssre : inégalités trigonométriques 08-12-09 à 19:38

tu poses f(x)=1-x^2/2+x^4/24-cos(x)

Et tu calcules f',f'',f''' et tu continues jusqu'à ce que tu trouves une dérivée de f positive et tu remontes tout...

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 08-12-09 à 23:29

Bon,  arrivé à f(4)(x) = cos x  + 1 je suis sûr que x I,  f(4)(x) > 0

Mais une fois ce résultat établi, qu'est-ce que j'en conclus pr f(x) et mon inégalité de départ
C'est ladérivée première qui renseigne sur les variations de la fonction, mais les autres ordres ???

Je te remercie d'essayer de m'aider mais là je suis tjs perdu


Aiuto !!!Per favore      

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 09-12-09 à 13:16


Bonjour à tous

SVP, est-ce que qqn pourrait me dire

1/ pr la 1ère inégalité, si mon raisonnement est correct ?

2/ comment commencer ; la dérivation successive que me suggère Driss ne me permet pas d'aboutir

Merci à tous pr votre aide.

Si vs pouviez me mettre sur une bonn e pr=iste d'ici ce soir

merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : inégalités trigonométriques 09-12-09 à 14:48

Bonjour

Ton raisonnement pour 1) est incomplet et la méthode est bien celle indiquée par Dryss (salut Dryss).

f(x)=\tan(x)-x-\frac{x^3}{3}\\ \\ f'(x)=\tan^2(x)-x^2=(\tan(x)+x)(\tan(x)-x)

Quand x est dans I \tan(x)+x \geq 0
Soit g(x)=\tan(x)-x Alors g'(x)=\tan^2(x)\geq 0 Donc g est croissante, et comme g(0)=0, g est positive. Donc f' est positive, f est croissante et comme f(0)=0, f est positive.

Pour 2) pas de miracle; il faut dériver des tas de fois.

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 09-12-09 à 18:24

Merci Camélia ; Merci Dryss

Donc j'ai dérivé 4 fois et j'obtiens une fonction qui est tjs > 0 sur I ; pouvez-vs me dire SVP, une fois arrivé là, comment je continue pr établir l'inégalité de départ

Merci d'avance

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 09-12-09 à 23:19



Je ne vois tjs pas quoi faire avec cette dérivée d'ordre 4

Dryss m'écrit :

Citation :
jusqu'à ce que tu trouves une dérivée de f positive et tu remontes tout


Excusez-moi de ne pas maîtriser ce jargon mathématique, ça veut dire quoi "tout remonter" ?:

J'ai l'impression que ce genre d'exercice paraît évident, simplissime...
j'aimerais bien qu'il le devienne aussi pr moi

aussi si vs pouviez me donner + de détail  svp

merci  d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : inégalités trigonométriques 10-12-09 à 14:17

f(x)=\cos(x)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}\\ \\ f'(x)=-\sin(x)+x-\frac{x^3}{6}\\ \\ f''(x)=-\cos(x)+1-\frac{x^2}{2}\\ \\ f'''(x)=\sin(x)-x\\ \\ f^{(4)}(x)=\cos(x)-1\leq 0

donc f''' est décroissante. Comme f'''(0)=0 elle est négative. Donc f'' est décroissante. Comme f''(0)=0 elle est négative. Donc f' est décroissante. Comme f'(x)=0, elle est négative. Donc f est décroissante. Comme f(0)=0 elle est négative, et c'est ce que tu voulais.

Posté par
pppare : inégalités trigonométriques 10-12-09 à 18:25

MERCI CAMELIA

SUPER  

>> Dryss : maintenant je comprends ce que tu voulais me faire faire ; moi ce genre de raisonnement je n'avais pas l'habitude, maintenant je l'ai bien compris, j'espère qu'il deviendra un réflexe comme il l'est chez Camélia et toi, et que je saurai y penser opportunément


encore grand merci, et au plaisir


Ciao...!


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