Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première AutreTopics traitant de autre [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau première
Partager :

Inéquation avec racines

Posté par
Kevinette 26-06-16 à 11:35

Bonjour,
Comment résoudre cette inéquation?
sqrt (2x+1) <= 1+(x/3).
J'ai commencé par:
0 <= (2x+1) <= (1+(x/3))^2.

Posté par
carpediemre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 11:48

salut

0 =< 2x + 1 <=> ...

(2x + 1) =< (1 + x/3)²   ::  développer et tout mettre dans un même membre ....

Posté par
Kevinettere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 11:59

Merci!
Alors d'un côté ça donne:
0=<2x+1
(-1/2)=<x

Et de l'autre:
2x+1=<(1+(x/3))^2
2x+1=<1+(2x)/3+(x^2)/9
2x+1=<1+((18x+3x^2))/27
0=<1+(18x+3x^2)/27 -(2x+1)
0=<(1+18x+3x^2-54x-27)/27
0=<(3x^2-36x-26)/27
0=<(3x^2-3*12x-(26/3)*3)/(3*9)
0=<(x^2-12x-(26/3))/9

Posté par
Kevinettere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:07

Ah mince, pardon!! Erreur de calcul... :/
0=<(27+18x+3x^2-54x-27)/27
0=<(3x^2-36x)/27
0=<(3x^2-3*12x)/(3*9)
0=<(x^2-12x)/9

Posté par
malou Webmasterre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:10

bonjour
arrivé(e) là, factorise ton membre de droite
puis signe de ton polynôme du second degré

Posté par
Kevinettere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:23

0=<(x/3)^2-[(sqrt(12)/3)^2]x
0=<[(x/3)+(sqrt (12)/3)][(x/3-(sqrt (12)x/3)]
Est-ce correct svp?

Posté par
malou Webmasterre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:28

x en facteur simplement me semble plus adapté....

Posté par
Kevinettere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:34

0 =<x (x/9) - x (12/9)
0=< x (x/9)-x (12/9)
0=< x [(x/9)-(12/9)]
x=0
Et (x/9)-(12/9)=0
(x/9)=(12/9)
x=12

S=[(-1)/2;0]U [12;+l'infini [

Merci beaucoup!!!

Posté par
carpediemre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:53

Citation :
Et de l'autre:
2x+1=<(1+(x/3))^2
2x+1=<1+(2x)/3+(x^2)/9


à partir de là multiplie par 9 pour te débarrasser des fractions

18x + 9 =< 9 + 6x + x²

on met tout dans un même membre (choisir le bon) et on factorise ...

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:54

salut,
il est un peu cavalier d'elever au carre les deux membres d'une inequation sans se poser un question essentielle.
Laquelle ?

Posté par
carpediemre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 12:54

à 12h 34 :: faux ....

ne pas oublier que :

a < b < c <=> a < b et b < c

...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:22

Bonjour à tous,
Je débarque un peu ; mais le résultat dans le message de Kevinette à 12h34 me semble exact.
Pour le raisonnement, le signe de 1+x/3 est à regarder.

Posté par
cocolaricottere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:32

Je ne vois pas où il aurait un souci !

Kevinette  commence bien son travail par 0 <= (2x+1) <= (1+(x/3))^2

Et applique le fait que la fonction carré est croissante sur les réels positifs puisque (2x+1) 0

Quelques lignes supplémentaires auraient pu être écrites :  

0 (2x+1) 1 + x/3

donc en appliquant la croissance de la fonction carré sur les réels positifs, on a bien

0 2x + 1 (1 + x/3)²

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:36

Oui mais pas la réciproque.
On peut avoir a < b2 avec a > b .

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:43

resultat exact ne signifie pas raisonnement exact !
resoudre par exemple sqrt (2x+1) <= 1+3x

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:49

J'avais pensé aussi à (1+x/3) 2x+1

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:53

Nous voulons resoudre sqrt(a)<=b
si a<0 alors cette inequation n'a pas de solution
si b<0 alors cette inequation n'a pas de solution

Nous allons donc resoudre:

\\ \sqrt{a}\leqslant b$ et $a\geqslant0$ et $b\geqslant0 \\

cette proposition est equivalente à:

\\ a\leqslant b^2$ et $a\geqslant0$ et $b\geqslant0 \\

AQT ...

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 15:56

@Sylvieg
oui
je ne comprends pas pourquoi les (in)équations irrationnelles font couler autant d'encre.
On les resolvait en routine en premiere autrefois.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 16:00

Pour (1+x/3) 2x+1 l'ensemble de définition est [-3;+[

Les réels -1 et -2 vérifient 1+x/3 (2x+1)2

Les réels -1 et -2 ne vérifient pas (1+x/3) 2x+1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 16:02

Que veut dire AQT ?

Posté par
mdr_nonre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 16:03

bonjour : )

1) Etude du signe de la fonction x \mapsto 2x + 1 :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -\infty && -1/2 && +\infty \\ \hline 2x + 1 && - &0& + & \\ \hline \end{array}

Le tableau montre que l'inéquation étudiée n'est définie que sur D = [-1/2 ; +\infty[.


2) Résolution de l'inéquation par équivalences :

\forall x \in D : \\ \\ \sqrt{2x + 1} \leq x/3 + 1   \Longleftrightarrow   2x + 1 \leq (x/3 + 1)^2 \text{ } \boxed{\text{et } x/3 + 1 \geq 0}   \\ \\ \Longleftrightarrow   0 \leq x(x - 12) \text{ } \boxed{\text{et } x \geq -3}   \\ \\ \Longleftrightarrow   x \in [-3 , 0] \cup [12 , +\infty[


3) Conclusion :

L'ensemble des solutions cherché est \left([-3 , 0] \cup [12 , +\infty[\right) \cap D = [-1/2 , 0] \cup [12 , +\infty[

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 16:12

@mdr_non
tu as eu une promo sur les quantificateurs

@Sylvieg
page 6 ici  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 16:43

Merci alb12. Je ne connaissais pas !

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 18:09

à lire la fin de la page 47 et le debut de la page 48
je dois reconnaître que je suis encore trop theorique !
une regle au lycee et peut-etre meme ensuite:
verbaliser au maximum et jeter à la poubelle les hieroglyphes bourbakistes,
AQT en premier lieu

Posté par
malou Webmasterre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 18:26

Je connaissais le "pont aux ânes", mais ne connaissais pas l'AQT
verbaliser...eh oui...

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 19:02

à mon sens une approche efficace ici:    

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 19:14

Merci alb12 pour les documents.
Les notes en bas de la page 48 du premier (IREM) m'ont rajeunie de plus de 40 ans ! Lebossé et Hémery, Chambadal ....

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:04

Bonsoir,
A part les domaine de définition que je n'est pas précisé, mes résultats sont-ils bon ?\sqrt(2x+1)\leq 1+\frac{x}{3}\Leftrightarrow (2x+1)\leq 1+\frac{2x}{3}+\frac{x²}{9}\Leftrightarrow (2x+1)\leq \frac{9+6x+x²}{9}\Leftrightarrow (2x+1)-\frac{9+6x+x²}{9}\leq 0\Leftrightarrow \frac{18x+9}{9}-\frac{9+6x+x²}{9}\leq 0\Leftrightarrow \frac{x²+24x+18}{9}\leq 0
Ainsi, nous factorisons le numérateur et avec le produit de facteur nous pouvons en déduire du signe de la fonction.
OK ?

Posté par
carpediemre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:09

à nouveau comme je l'ai dit plus haut : se débarrasser des fractions éviterait un calcul faux ....

carpediem @ 26-06-2016 à 12:53

Citation :
Et de l'autre:
2x+1=<(1+(x/3))^2
2x+1=<1+(2x)/3+(x^2)/9


à partir de là multiplie par 9 pour te débarrasser des fractions

18x + 9 =< 9 + 6x + x²

on met tout dans un même membre (choisir le bon) et on factorise ...

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:09

Mais finalement, mon résultat est différent de celui de mdr_non...Pourquoi ?

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:10

J'ai bien mis au même dénominateur et simplifier le tout pour retrouver une seul fraction là.

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:14

Je ne vois pas ou est mon erreur, une fois me retrouvant avec 1+(2x/3)+(x²/9) j'ai multiplié 1par 9 ( car 1=1/1 donc 9/9) et (2x/3) par 3 car 3*3=9 donc même dénominateur partout et simplification.

Posté par
mdr_nonre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:17

Ton erreur c'est que tu crois que 9 - 9 = 18. Regarde le signe '-' qui était là...

Posté par
cocolaricottere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:17

Parce qu'il y a un signe devant ta 2ème fraction et que l'as oublié !

\dfrac{18x+9}{9}-\dfrac{9+6x+x²}{9}

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:26

ah, erreur d'innatention...encore une fois ! Nous avons donc \frac{-x²+12x}{9}\leq 0 Mais j'ai une question.
Nous pouvons étudier le signe de la fonction a partir du numérateur et du dénominateur, mais puisqu'il n'y a aucune inconnue au dénominateur peut on juste resoudre x(-x+12)0 ou x((-x/9)+12/9)0 comme l'a fait Kevinette
?

Kevinette @ 26-06-2016 à 12:34

0 =<x (x/9) - x (12/9)
0=< x (x/9)-x (12/9)
0=< x [(x/9)-(12/9)]
x=0
Et (x/9)-(12/9)=0
(x/9)=(12/9)
x=12

S=[(-1)/2;0]U [12;+l'infini [

Merci beaucoup!!!

Posté par
cocolaricottere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:28

Quel est le signe d'un quotient quand son numérateur est toujours positif ?

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:29

positif ?

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:30

en résolvant l'inéquation \frac{-x²+12x}{9}\leq 0, le résultat est x0 OU x12, encore une fois différent du votre mdr_non.
J'imagine que c'est en relation avec le domaine ?

Posté par
carpediemre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:31

il ne faut pas imaginer, il faut lire attentivement ce qui est écrit ....

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:33

Je n'imagine pas, j'ai réfléchis mais le quotient peut etre positif comme négatif, tout dépend du dénominateur.

Posté par
cocolaricottere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:41

Ne pas oublier sur quel intervalle l'inéquation existe ? A faire en 1er !

Et bien relire tout ce qui a été écrit !

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:44

La taquinerie j'aime bien cocolaricotte
J'ai bien relu ce qui étais écris, mais malgré cela , je ne vois pas comment l'ensemble de definition peut influencer l'ensemble de solution finale, mais vous pouvez peut etre m'expliquer ?
Merci.

Posté par
alb12re : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:48

@mkask
n'utilise pas le symbole d'equivalence,
un correcteur au bac te sanctionnera si l'equivalence est fausse.
Va à la ligne c'est largement suffisant.

Comme le dit carpediem arrete d'imaginer, lis ce qui est ecrit,
redige à ta façon pour assurer la credibilite d'une recherche personnelle.

Fais des phrases, surtout pas de symbole pour faire savant.
Sauf si ton prof l'exige.

Posté par
cocolaricottere : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:53

Quand tu as une équation avec des fractions qui ont un dénominateur avec l'inconnue, tu commences par trouver les valeurs interdites ! non ?

Pour une inéquation c'est ce qu'il faut faire en 1er !

Pour que \sqrt{2x +1}  existe, il faut que 2x + 1 soit positif ou nul !  

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 20:59

Oui, donc x-1/2, ensuite il faut aussi que 1+(x/3) soit positif ( ou nul) donc x-3. Qu'en est-il maintenant ?
Je veut vraiment pas etre ni insolent ni irrespectueux, mais je prefere largement lorsque mdr_non ou maloum'explique, ils sont beaucoup plus clair a mon gout.
Merci quand même

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 21:01

Je ne comprend pas pourquoi vous me reprocher d'imaginer, mais tout les élève ne comprenne pas de la même facon, si j'ai tord cela ne veut pas forcément dire que j'imagine seulement.

Posté par
malou Webmasterre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 21:13

mkask, donc tu en es à x-1/2
avec en même temps
x0 ou x12

donc tu retrouves bien x dans [-1/2 ; 0][12, +[
non ?

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 21:15

Je parviens seulement a trouvé [-3;0]U[12;+] mais pas [-1/2;0]U[12;+].

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 21:16

Mais, vous vous souvenez pas ? la derniere fois dans le "grand débat" qu'a eu lieu, on m'a fait comprendre qu'il est inutile de vérifié le domaine de definition de A mais juste de B, donc A=B avec B0 seulement

Posté par
mkaskre : Inéquation avec racines 26-06-16 à 21:17

J'ai donc x[-3;+] et x0 OU x12, ce qui renvoie a ma conclusion.
Et merci d'intervenir !

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !