Bonjour.

Une équation différentielle est une équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées.
En terminale, il me semble qu'on ne doit savoir résoudre que les équations du type :
y'+ay=b, où y est une fonction et y' représente sa dérivée.

L'équation y'+ay=b a pour solutions : y(x)=Kexp(-ax) + b/a, où K est une constante.

Il est assez fréquent que l'on ait b=0, donc l'équation : y'+ay=0.
La solution est donc : y(x)=K(-ax), avec K une constante.

Remarquons que dans la mesure où K est une constante, n'importe laquelle (même 0), alors il y a une infinité de solutions.

Démonstration :
y'+ay=0
Multiplions par exp(ax) :
exp(ax)y'+aexp(ax)y=0
Remarquons que exp(ax)y'+aexp(ax)y = [exp(ax)y]'
Donc : [exp(ax)y]'=0, ce qui signifie que exp(ax)y vaut une constante, que l'on note K, d'où :
exp(ax)y=K
Multiplions par exp(-ax) :
y=Kexp(-ax)

Si y'+ay=b, alors en fait un théorème un peu avancé nous dit que l'ensemble des solutions de cette équation est la somme d'une solution de l'équation "y'+ay=0" et d'une solution particulière de y'+ay=b, celle que l'on veut.
Ici, on connaît la forme d'une solution de l'équation y'+ay=0, on a montré que c'est : y(x)=Kexp(-ax) (K constante)
Comment trouver une solution particulière ? On remarque que y=b/a est solution particulière de y'+ay=b, tout simplement.
D'où la forme générale des solutions de l'équation y'+ay=b :
y(x)=Kexp(-ax)+ b/a

Bonjour,

pourrais-tu préciser dans quelle section de terminale tu étais, et dans quelle section du supérieur tu rentres ?

Sinon, en 2 mots :

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu, qu'on désigne par une lettre. Résoudre l'équation, c'est déterminer la valeur de l'inconnue pour que l'égalité soit vraie.
par exemple "2x-5=3" est une équation, et son unique solution est 4.

Une équation différentielle, c'est une équation dans laquelle ce n'est plus un nombre, mais une fonction qui est inconnue. L'équation différentielle donne une relation entre la fonction et ses dérivées.
Par exemple "2y'' - 5y' +9y = 4x+5" est une équation différentielle.
y désigne la fonction, y' sa dérivée et y'' sa dérivée double. x désigne la variable de la fonction.
Ainsi, on cherche l'expression d'une fonction, par exemple f(x), de telle sorte que la somme de 2 fois sa dérivée double moins 5 fois sa dérivée simple plus 9 fois la fonction soit égale à 4x+5.
L'objectif est de trouver toutes les fonctions qui vérifient cette égalité.

Voilà, ensuite tu peux trouver facilement des cours sur les équations différentielles.

Attention, c'est un domaine très vaste et la résolution d'une équation différentielle peut s'avérer très longue et compliquée !

Merci pour vos réponses.

J'étais en terminale S. Et non nous n'avons pas du tout vu des équations en rapport avec les équations différentielles, donc pas de genre y'+ay=b par exemple.

C'est totalement inconnu pour nous.