Bonjour

En quelle classe es-tu? Ca me permettra de mieux te répondre. par exemple, sais tu ce qu'est un déterminant?

Pour prouver que f est injective, il faut démontrer que :

pour tous couples (x1;y1) et (x2;y2) de Z2, [f(x1;y1) = f (x2;y2)] (x1;y1) =(x2;y2)  cad x1 = x2  et  y1 = y2

Or f(x1;y1) = f (x2;y2)  signifie que:

ah ok, et en général lorsque l'on veut monter q'une application f avec 2 paramètre est injective on se rammène à un système, on le résous et on montre que X=0 et Y=0 et si X et Y ne sont pas égales à 0 f n'est pas injectivive c'est bien cela?
En tout cas mici beaucoup pour ton aide, j'ai compris, ^ ^

Ce n'est pas toujours comme ca qu'on procède. Ce qui est général, c'est ma deuxième ligne. c'est cela qu'il faut démontrer.

Il reste encore à démontrer a surjection. Sais tu ce qu'est un déterminant?

oui, det(AB,CD) avec AB(a, b) et CD(c,d) det(AB,CD)= ac-bd

Alors ça simplifie:

f est bijective ssi tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent unique par f

soit (a,b) ², cherchons-lui un antécédent (x;y) dans ²

cela revient a résoudre le système:



* le déterminant de ce système est égal à (-1) qui est non nul, donc le système a une solution unique dans IR².

* Reste à prouver que cette solution est dans  ²

pour cela:
- soit tu résous comme en 3ème, avec les combinaisons linéaires et tu trouves que x et y sont des entiers
- soit tu connais les formules de résolution des systèmes 2-2, et comme tu sais que le dénominateur de x et y est le déterminant du système, donc (-1), tu sais d'avance que les résultats sont des entiers.

donc (x;y) ²


Chaque élément de ² a un unique antécédent dans ²: f est donc bijective.

En fait, puisqu'on te demande d'étudier la surjectivité,ce que j'ai écrit traite la surjection: il suffit d'enlever le mot "unique" dans le raisonnement.

Mais ici, il est possible, en traitant la surjectivité, d'avoir immédiatement la bijectivité.

ah ok, mici beaucoup pour ton aide! ^ ^