Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Intégrabilité

Posté par
gui_tou 06-10-08 à 22:32

Bonsoir

Un petit exo d'oral sur lequel je bute un peu.

Citation :
Soit 3$\rm f\in C^1({\bb R}_+,{\bb R}), intégrable sur 3$\rm{\bb R}_+.

1) A-t-on 3$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0 ?

2) Même question si on suppose 3$\rm f' bornée.

3) Même question si on suppose seulement 3$\rm f' majorée.


1) Contre-exemple classique : la fonction avec des pics

3$\{\forall x\in\[n,n+{4$\fr{1}{2n^4}}\]\ f(x)=2n^5(x-n)\\ \\ \forall x\in\[n+{4$\fr{1}{2n^4}},n+{4$\fr{1}{n^4}}\]\ f(x)=-2n^5\(x-n-{4$\fr{1}{2n^4}}\)\\ \\ \forall x\in\[n+{4$\fr{1}{n^4}},n+1\]\ f(x)=0

Pour 2) et 3) je ne vois pas ...

Ca ressemble un tout petit peu à Exo défi > Intégrale convergente et fonction bornée

Merci

Posté par
Nightmarere : Intégrabilité 06-10-08 à 22:41

Salut

Je pense qu'il nous faut l'uniforme continuité...

Donc 1) Clairement fausse

2) C'est bon puisqu'on a la lipschitzianité (enfin faut encore le montrer)

J'y réfléchis.

Posté par
Nightmarere : Intégrabilité 06-10-08 à 22:46

avec Cauchy ça marche très bien

Suppose que f ne tend pas vers 0 et montre qu'alors le critère de Cauchy n'est pas vérifié

Posté par
gui_toure : Intégrabilité 06-10-08 à 22:53

Salut Jord

Pour la 2) : il existe un réel positif M tel que 3$\rm\forall (a,b)\in[0,+\infty[^2\;|f(b)-f(a)|\le M|b-a|

En quoi ça peut nous aider à conclure ?

Pour Cauchy, faut que je prenne du temps pour comprendre son critère ^^

Merci, et bonne soirée! (dodo)

Posté par
Nightmarere : Intégrabilité 06-10-08 à 22:56

Comme je te l'ai dit, sert toi plutôt de l'uniforme continuité.

Cela dit, peut être que c'est plus simple en utilisant carrément la lipschitzianité, j'y réfléchis.

Posté par
gui_toure : Intégrabilité 07-10-08 à 19:52

Re !

J'ai demandé à ma prof, et elle m'a dit qu'il fallait surement utiliser le théorème des accroissements finis ou un truc du genre, en attendant de retrouver le corrigé

Posté par
gui_toure : Intégrabilité 08-10-08 à 20:35

Pour la question 2)

On suppose 3$\rm f intégrable sur 3$\rm{\bb R}_+ et 3$\rm f' bornée. Montrons que 3$\lim_{x\to+\infty}\ f(x)=0.

3$\rm f' est bornée donc 3$\exists M\;\forall x\in{\bb R}_+\;|f'(x)|\le M

alors 3$0\le|f(x)f'(x)|\le M|f(x)|

or 3$\rm f est intégrable sur 3$\rm{\bb R}_+ donc 3$\rm ff' aussi,  et 3$\lim_{x\to+\infty}\ \Bigint_0^xf(t)f'(t)dt=l existe ( 3$l=\Bigint_0^{+\infty}f(t)f'(t)dt )
or 3$\Bigint_0^xf(t)f'(t)dt=\fr12\(f^2(x)-f^2(0)\)  donc 3$f^2(x)\longright l'=2l+f^2(0) et 3$|f(x)|\longright l''=\sqrt{l'

or 3$\rm f est intégrable sur 3$\rm{\bb R}_+ et 3$|f(x)|\longright l'' et 3$l'' vaut nécessairement 0

3$\fbox{f(x)\longright_{x\to\infty}0

Pour la 3) la correction fait 3 pages, et c'est absolument affreux

Posté par
Nightmarere : Intégrabilité 08-10-08 à 20:39

D'accord effectivement la lipschitzianité rend l'affaire plus simple.

Vois-tu comment le démontrer si on ne suppose que l'uniforme continuité? C'est assez intéressant

Concernant le 3) la réponse est-elle oui?

Posté par
gui_toure : Intégrabilité 08-10-08 à 20:46

J'ai jamais vu la continuité uniforme, et elle a disparu du programme de PC ^^

Pour la 3, oui on a aussi 3$\fbox{f(x)\longright_{x\to\infty}0, mais je n'ai pas encore lu la démo

pour te donner une idée :

f' est majorée donc 3$\exists M\;\forall x\in{\bb R}_+\;f'(x)\le M l'examinateur conseille de raisonner par l'absurde.

On suppose que f ne tend pas vers 0 quand 3$x\to+\infty, c'est-à-dire on nie la propriété :
3$\forall \epsilon>0\;\exists X_0\;x\ge x_0\Longright\ |f(x)|\le \epsilon

donc on suppose 3$\exists\epsilon_0>0\;\forall X\;\exists x>X\;/\;|f(x)|>\epsilon_0

etc.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !