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intégral et convergence

Posté par
maitena 22-04-09 à 11:15

Bonjour,
on me donne: J_n=\int_0^{1}\frac{dt}{(t^2+1)^n}
On m'a demandé de calculer J_1 je trouve /4
On me demande ensuite de prouver que pour tout n*
0<J_n<1

J'ai essayé par récurrence mais je bloque pouvez-vous m'aider s.v.p.

Posté par
Marcel Moderateurre : intégral et convergence 22-04-09 à 11:24

Bonjour,

On a : 0 < 1/(t²+1)n < 1 pour tout t ]0;1[
Donc : ∫ (0 à 1) 0 dt < ∫ (0 à 1) dt/(t²+1)n < ∫ (0 à 1) 1 dt
Donc : 0 < ∫ (0 à 1) dt/(t²+1)n < 1

Posté par
bapaderre : intégral et convergence 22-04-09 à 11:26

Bonjour,

Ta valeur de J_1 est correcte !
Pour la suite, tu peux encadrer directement la quantité \frac{1}{(t^2+1)^n lorque t est entre 0 et 1.

BA.

Posté par
maitenare : intégral et convergence 22-04-09 à 11:56

En fait je dois partir de 0<t<1?

Posté par
maitenare : intégral et convergence 22-04-09 à 11:59

mais 0<t<1 0<\frac{1}{t^2+1}<1
et comment je fais pour prendre l'intégrale?

Posté par
miltonre : intégral et convergence 22-04-09 à 12:02

salut
tu n'as plus qu'as continuer les opperations

Posté par
Arkhnorre : intégral et convergence 22-04-09 à 12:04

Salut.

Si f(t) \le g(t) pour tout t\in[a,b] alors \int_a^bf(t)dt \le \int_a^bg(t)dt

Ca parait intuitif en plus non ?

Posté par
maitenare : intégral et convergence 22-04-09 à 12:10

Merci mais une dernière petite chose est-ce-que je dois partir d'une inégalité large ou strict?

Posté par
miltonre : intégral et convergence 22-04-09 à 12:15

ds ce cas preci ,large

Posté par
maitenare : intégral et convergence 22-04-09 à 12:18

Dans ce cas ci seulement? Si oui, pourquoi?

Posté par
miltonre : intégral et convergence 22-04-09 à 12:29

generalement et le plus souvent elle est large et presque tjrs. les cas où elle ne l'est pas ,je ne crois pas que tu les rencontreras svt


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