Il faut décomposer en éléments simples :
1/(x^3-1) = 1/(3(x-1))+ (-1/3x-2/3)/(x^2+x+1)
et écrire x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4 qui s'intègre en arctangente .

pourquoi tu as mis 1/(x3-1)=1/3(x-1) + (- pourquoi le moins on aurais pu faire d'autres décompositions simples

Parce que c'est ça une décomposition en éléments simples . 1/(x-1) s'intègre en ln .
Pour la deuxième partie (vérifie les coeff) , tu fais apparaître la dérivée de dénominateur au numérateur d'où à intégrer une formule du style u'/u , puis pour le terme restant tu décompose comme précédemment pour avoir une arctangente

comment tu as fais pour avoir cette décomposition tu es sur que tu t'es pas trompé

oui je suis sure de ma décomposition . Elle résulte de : x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1) .
Pour le reste , c'est le cours sur les fractions rationnelles .

oui d'accord avec ça mais j'ai pas compris pourquoi ta mis cette fraction : (-1/3x-2/3)/(x^2+x+1)
c'est une decomposition ça elle va nous servir pour rien normalement on compose sous forme de a/(x-1) + b/(x²+x+1) et on cherche les a et b . non ?