Bonjour.

As-tu essayé de poser ln(x) = u ?

Poser ln(x) = t

dx/x = dt

S dx/(x.(ln(x))^p) = S dt/t^p

x = 2 : t = ln(2)
x --> +oo : t --> +oo

S(de ln(2) à +oo) dt/t^p = (1/(1-p)) * [t^(-p+1)] (de ln(2) à +oo] = -(1/(1-p)) * [(ln(2))^(-p+1)]

S(de 2 * +oo) [/(x.(ln(x))p)] dx = (1/(p-1)) *  [(ln(2))^(-p+1)]

Sauf distraction.  

ce que je ne comprend pas,c'est le passage de 2 a ln2..pourquoi?

l'integrale c de 2 a +infini,mais comment c'est devenu ln2 a +infini

Si tu poses ln(x) = u, et si x = 2, alors, u = ln(2)

Le changement de variable impose le changement de bormes correspondant.

Pour l'infini, tu as intérêt à considérer d'abord l'intégrale du départ entre 2 et X, puis, de faire tendre X vers l'infini.

J'ai posé ln(x) = t

La borne inférieure d'intégration est 2 si on intègre avec x comme variable.
Que devient cette borne si on intègre avec t comme variable et qu'on sait que ln(x) = t ?

Si x = 2 --> t = ln(2)
Donc la borne inférieure d'intégration est ln(2) si on intègre avec t comme variable.
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Pareillement pour la borne supérieure d'intégration.
Si on intègre avec x comme variable, la borne supérieure est x = +oo

Si x = +oo, avec t = ln(x), t = ln(+oo) = +oo
Donc la borne supérieure d'intégration si on intègre avec t comme variable est aussi +oo

Remarque.

Si cela te perturbe de modifier les bornes d'intégration, on peut tourner autour de la difficulté.

On cherche une primitive ainsi:

On pose ln(x) = t et on arrive à :

S dx/(x.(ln(x))^p) = S dt/t^p = (1/(1-p)) * [t^(-p+1)]

Comme t = ln(x), on a donc :
S dx/(x.(ln(x))^p) = S dt/t^p = (1/(1-p)) * [ln(x)^(-p+1)]

Tout est revenu en x comme variable --> on peut trouver l'intégrale avec les bornes correspondant à x.

S dx/(x.(ln(x))^p) = (1/(1-p)) * [ln(x)^(-p+1)]

S(de 2 à +oo) dx/(x.(ln(x))^p) = (1/(1-p)) * [ln(x)^(-p+1)](de 2 à +oo)

S(de 2 à +oo) dx/(x.(ln(x))^p) = (1/(1-p)) * [ln(x)^(-oo) - (ln(2))^(-p+1)]

S(de 2 à +oo) dx/(x.(ln(x))^p) = (1/(1-p)) * [0 - (ln(2))^(-p+1)]

S(de 2 à +oo) dx/(x.(ln(x))^p) = (1/(p-1)) * (ln(2))^(-p+1)
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Sauf distraction.  

c bon g compri!